미적분 예제

$f (x) = 4 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x + 9$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x^{2}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.3.3

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x^{2} - 16 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 16 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.4.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} - 16 x + 4 + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$12 x^{2} - 16 x + 4 + 0$

단계 1.5.2

$12 x^{2} - 16 x + 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12 x^{2} - 16 x + 4$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{2} - 16 x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{2}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.2.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 16 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 16 x$ 의 미분은 $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 24 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 24 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.3.3

$- 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 24 x - 16 + \frac{d}{d x} (4)$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$f'' (x) = 24 x - 16 + 0$

단계 2.4.2

$24 x - 16$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 24 x - 16$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$12 x^{2} - 16 x + 4 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 4.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 4.1.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x^{2}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 4.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 4.1.3.3

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 4.1.4

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x^{2} - 16 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 4.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 16 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

단계 4.1.4.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} - 16 x + 4 + \frac{d}{d x} [9]$

단계 4.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$12 x^{2} - 16 x + 4 + 0$

단계 4.1.5.2

$12 x^{2} - 16 x + 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 16 x + 4$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $12 x^{2} - 16 x + 4$ 입니다.

$12 x^{2} - 16 x + 4$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x^{2} - 16 x + 4 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$12 x^{2} - 16 x + 4 = 0$

단계 5.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$12 x^{2} - 16 x + 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$12 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (3 x^{2}) - 16 x + 4 = 0$

단계 5.2.1.2

$- 16 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 = 0$

단계 5.2.1.3

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (1) = 0$

단계 5.2.1.4

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 4 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (3 x^{2} - 4 x) + 4 (1) = 0$

단계 5.2.1.5

$4 (3 x^{2} - 4 x) + 4 (1)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

단계 5.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 5.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ 이고 합이 $b = - 4$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 5.2.2.1.1.1

$- 4 x$ 에서 $- 4$ 를 인수분해합니다.

$4 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

단계 5.2.2.1.1.2

$- 4$ 를 $- 1$ + $- 3$ 로 다시 씁니다.

$4 (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

단계 5.2.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

단계 5.2.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 5.2.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$4 ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

단계 5.2.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$4 (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

단계 5.2.2.1.3

최대공약수 $3 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$4 ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

단계 5.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$4 (3 x - 1) (x - 1) = 0$

단계 5.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 5.4

$3 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$3 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x - 1 = 0$

단계 5.4.2

$3 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$3 x = 1$

단계 5.4.2.2

$3 x = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

$3 x = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

단계 5.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

단계 5.4.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{3}$

단계 5.5

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 5.5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5.6

$4 (3 x - 1) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{3}, 1$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = \frac{1}{3}, 1$

단계 8

$x = \frac{1}{3}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$24 (\frac{1}{3}) - 16$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$24$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (8) \frac{1}{3} - 16$

단계 9.1.2

공약수로 약분합니다.

$3 \cdot 8 \frac{1}{3} - 16$

단계 9.1.3

수식을 다시 씁니다.

$8 - 16$

단계 9.2

$8$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$- 8$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{1}{3}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{1}{3}$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = \frac{1}{3}$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{1}{3}) = 4 {(\frac{1}{3})}^{3} - 8 {(\frac{1}{3})}^{2} + 4 (\frac{1}{3}) + 9$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.2.1.1

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1}{3}) = 4 (\frac{1^{3}}{3^{3}}) - 8 {(\frac{1}{3})}^{2} + 4 (\frac{1}{3}) + 9$

단계 11.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (\frac{1}{3}) = 4 (\frac{1}{3^{3}}) - 8 {(\frac{1}{3})}^{2} + 4 (\frac{1}{3}) + 9$

단계 11.2.1.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{1}{3}) = 4 (\frac{1}{27}) - 8 {(\frac{1}{3})}^{2} + 4 (\frac{1}{3}) + 9$

단계 11.2.1.4

$4$ 와 $\frac{1}{27}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - 8 {(\frac{1}{3})}^{2} + 4 (\frac{1}{3}) + 9$

단계 11.2.1.5

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - 8 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 4 (\frac{1}{3}) + 9$

단계 11.2.1.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - 8 \frac{1}{3^{2}} + 4 (\frac{1}{3}) + 9$

단계 11.2.1.7

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - 8 (\frac{1}{9}) + 4 (\frac{1}{3}) + 9$

단계 11.2.1.8

$- 8$ 와 $\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} + \frac{- 8}{9} + 4 (\frac{1}{3}) + 9$

단계 11.2.1.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - \frac{8}{9} + 4 (\frac{1}{3}) + 9$

단계 11.2.1.10

$4$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - \frac{8}{9} + \frac{4}{3} + 9$

단계 11.2.2

공통분모를 구합니다.

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단계 11.2.2.1

$\frac{8}{9}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - (\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{4}{3} + 9$

단계 11.2.2.2

$\frac{8}{9}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{4}{3} + 9$

단계 11.2.2.3

$\frac{4}{3}$ 에 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{9} + 9$

단계 11.2.2.4

$\frac{4}{3}$ 에 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 9$

단계 11.2.2.5

$9$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9}{1}$

단계 11.2.2.6

$\frac{9}{1}$ 에 $\frac{27}{27}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9}{1} \cdot \frac{27}{27}$

단계 11.2.2.7

$\frac{9}{1}$ 에 $\frac{27}{27}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

단계 11.2.2.8

$9 \cdot 3$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

단계 11.2.2.9

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - \frac{8 \cdot 3}{27} + \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

단계 11.2.2.10

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4}{27} - \frac{8 \cdot 3}{27} + \frac{4 \cdot 9}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

단계 11.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4 - 8 \cdot 3 + 4 \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

단계 11.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.4.1

$- 8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4 - 24 + 4 \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

단계 11.2.4.2

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4 - 24 + 36 + 9 \cdot 27}{27}$

단계 11.2.4.3

$9$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4 - 24 + 36 + 243}{27}$

단계 11.2.5

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.5.1

$4$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 20 + 36 + 243}{27}$

단계 11.2.5.2

$- 20$ 를 $36$ 에 더합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{16 + 243}{27}$

단계 11.2.5.3

$16$ 를 $243$ 에 더합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{259}{27}$

단계 11.2.6

최종 답은 $\frac{259}{27}$ 입니다.

$y = \frac{259}{27}$

단계 12

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$24 (1) - 16$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$24 - 16$

단계 13.2

$24$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$8$

단계 14

이계도함수가 양수이므로 $x = 1$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 15

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = 4 {(1)}^{3} - 8 {(1)}^{2} + 4 (1) + 9$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 4 \cdot 1 - 8 {(1)}^{2} + 4 (1) + 9$

단계 15.2.1.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 4 - 8 {(1)}^{2} + 4 (1) + 9$

단계 15.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 4 - 8 \cdot 1 + 4 (1) + 9$

단계 15.2.1.4

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 4 - 8 + 4 (1) + 9$

단계 15.2.1.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 4 - 8 + 4 + 9$

단계 15.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.2.1

$4$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f (1) = - 4 + 4 + 9$

단계 15.2.2.2

$- 4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f (1) = 0 + 9$

단계 15.2.2.3

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f (1) = 9$

단계 15.2.3

최종 답은 $9$ 입니다.

$y = 9$

단계 16

$f (x) = 4 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x + 9$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{1}{3}, \frac{259}{27})$ 은 극댓값임

$(1, 9)$ 은 극솟값임

단계 17