미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ , $(0, 5)$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[0, 5]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 6)}^{2} = 0$

단계 1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

$x - 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 6 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$x = 6$

단계 1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 6}$

구간 표기:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 6}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[0, 5]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} d x)$

단계 5

먼저 $u = x - 6$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = x - 6$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$x - 6$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

단계 5.1.4

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$1 + 0$

단계 5.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 5.2

$u = x - 6$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 - 6$

단계 5.3

$0$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = - 6$

단계 5.4

$u = x - 6$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 5 - 6$

단계 5.5

$5$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = - 1$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 1$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u)$

단계 6

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 6.1

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u)$

단계 6.2

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u)$

단계 6.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{- 2} d u)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 1})$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ , $- 6$ 일 때, $- u^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 6)}^{- 1})$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

단계 8.2.2

$\frac{1}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (- 1 \cdot 1) + {(- 6)}^{- 1})$

단계 8.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

단계 8.2.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

단계 8.2.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + \frac{1}{- 6})$

단계 8.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 - \frac{1}{6})$

단계 8.2.7

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6}{6} - \frac{1}{6})$

단계 8.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6 - 1}{6})$

단계 8.2.9

$6$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{5}{6})$

단계 9

분모를 간단히 합니다.

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단계 9.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot \frac{5}{6}$

단계 9.2

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

단계 10

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

단계 10.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{6}$

단계 11