미적분 예제

$f (x) = \sqrt[4]{x}$ , $[1, 16]$

단계 1

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f (x)$ 이 $[1, 16]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f (x) = \sqrt[4]{x}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 1.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt[4]{x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x \geq 0$

단계 1.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \geq 0}$

구간 표기:

$[0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \geq 0}$

단계 2

$f (x)$ 는 $[1, 16]$ 에서 연속입니다.

$f (x)$ 는 연속입니다

단계 3

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 4

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} \sqrt[4]{x} d x)$

단계 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[4]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{4}}$ (으)로 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{4}} d x)$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{4}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16})$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$16$ , $1$ 일 때, $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} ((\frac{4}{5} \cdot 16^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$16$ 을 $2^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

단계 7.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

단계 7.2.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

단계 7.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

단계 7.2.4

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 32 - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

단계 7.2.5

$\frac{4}{5}$ 와 $32$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4 \cdot 32}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

단계 7.2.6

$4$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

단계 7.2.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

단계 7.2.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5})$

단계 7.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128 - 4}{5})$

단계 7.2.10

$128$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{124}{5})$

단계 8

$16$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$

단계 9

$\frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$ 을 곱합니다.

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단계 9.1

$\frac{1}{15}$ 에 $\frac{124}{5}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{124}{15 \cdot 5}$

단계 9.2

$15$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{124}{75}$

단계 10