미적분 예제

$f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [a x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a x^{4}$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$a \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

단계 1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$a (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

단계 1.2.3

$a$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 a x^{3} + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [b x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$b$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $b x^{3}$ 의 미분은 $b \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 a x^{3} + b \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 a x^{3} + b (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

단계 1.3.3

$b$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [c x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$c$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $c x^{2}$ 의 미분은 $c \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

단계 1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c (2 x) + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

단계 1.4.3

$c$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

단계 1.5

$\frac{d}{d x} [d x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.5.1

$d$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $d x$ 의 미분은 $d \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e]$

단계 1.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e]$

단계 1.5.3

$d$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + \frac{d}{d x} [e]$

단계 1.6

$e$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $e$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $e$ 입니다.

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + 0$

단계 1.7

간단히 합니다.

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단계 1.7.1

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$

단계 1.7.2

항을 다시 정렬합니다.

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

미분합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [d] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} a] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} b] + \frac{d}{d x} [2 c x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (d) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

단계 2.1.2

$d$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $d$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $d$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} a]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$4 a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3} a$ 의 미분은 $4 a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + 4 a \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 + 4 a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

단계 2.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} b]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$3 b$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2} b$ 의 미분은 $3 b \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b (2 x) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

단계 2.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + \frac{d}{d x} (2 c x)$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [2 c x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$2 c$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 c x$ 의 미분은 $2 c \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \cdot 1$

단계 2.4.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$0$ 를 $12 a x^{2}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

단계 2.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 2 c + 12 x^{2} a + 6 b x$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d a} [a x^{4}] + \frac{d}{d a} [b x^{3}] + \frac{d}{d a} [c x^{2}] + \frac{d}{d a} [d x] + \frac{d}{d a} [e]$ 가 됩니다.

$f' (a) = \frac{d}{d a} (a x^{4}) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d a} [a x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.2.1

$x^{4}$ 은 $a$ 에 대해 일정하므로 $a$ 에 대한 $a x^{4}$ 의 미분은 $x^{4} \frac{d}{d a} [a]$ 입니다.

$f' (a) = x^{4} \frac{d}{d a} (a) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

단계 4.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 는 $n a^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (a) = x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

단계 4.1.2.3

$x^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (a) = x^{4} + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

단계 4.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.3.1

$b x^{3}$ 이 $a$ 에 대해 일정하므로, $b x^{3}$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $b x^{3}$ 입니다.

$f' (a) = x^{4} + 0 + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

단계 4.1.3.2

$c x^{2}$ 이 $a$ 에 대해 일정하므로, $c x^{2}$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $c x^{2}$ 입니다.

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

단계 4.1.3.3

$d x$ 이 $a$ 에 대해 일정하므로, $d x$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $d x$ 입니다.

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (e)$

단계 4.1.3.4

$e$ 이 $a$ 에 대해 일정하므로, $e$ 를 $a$ 에 대해 미분하면 $e$ 입니다.

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

단계 4.1.4

항을 묶습니다.

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단계 4.1.4.1

$x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0$

단계 4.1.4.2

$x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0$

단계 4.1.4.3

$x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (a) = x^{4} + 0$

단계 4.1.4.4

$x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (a) = x^{4}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $x^{4}$ 입니다.

$x^{4}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x^{4} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$x^{4} = 0$

단계 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

단계 5.3

$\pm \sqrt[4]{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$0$ 을 $0^{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

단계 5.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 5.3.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$2 c + 12 {(0)}^{2} a + 6 b (0)$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$2 c + 12 \cdot 0 a + 6 b (0)$

단계 9.1.2

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 c + 0 a + 6 b (0)$

단계 9.1.3

$0$ 에 $a$ 을 곱합니다.

$2 c + 0 + 6 b (0)$

단계 9.1.4

$6 b (0)$ 을 곱합니다.

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단계 9.1.4.1

$0$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$2 c + 0 + 0 b$

단계 9.1.4.2

$0$ 에 $b$ 을 곱합니다.

$2 c + 0 + 0$

단계 9.2

$2 c + 0 + 0$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.2.1

$2 c$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 c + 0$

단계 9.2.2

$2 c$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 c$

단계 10

1차 도함수 판정에 실패했으므로 극값이 없습니다.

극값 없음

단계 11