미적분 예제

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (x + h) - \tan (x)}{h}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (x + h) - \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.1.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (x + h) - lim_{h \to 0} \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.1.2

탄젠트는 연속이므로 극한 lim을 삼각 함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.1.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.1.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\tan (x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.1.5

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $\tan (x)$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\tan (x + lim_{h \to 0} h) - \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\tan (x + 0) - \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.3

$\tan (x + 0) - \tan (x)$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.1.2.3.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\tan (x) - \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.2.3.2

$\tan (x)$ 에서 $\tan (x)$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

단계 1.1.3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (x + h) - \tan (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (x + h) - \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (x + h) - \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $\tan (x + h) - \tan (x)$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [\tan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d h} [\tan (x + h)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.3.1

$f (h) = \tan (h)$ , $g (h) = x + h$ 일 때 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 는 $f' (g (h)) g' (h)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + h$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.1.2

$\tan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u)$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.1.3

$u$ 를 모두 $x + h$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.2

합의 법칙에 의해 $x + h$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.3

$x$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.3.6

$\sec^{2} (x + h)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.4

$- \tan (x)$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $- \tan (x)$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $- \tan (x)$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5

간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1

$\sec^{2} (x + h)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.2

$\sec (x + h)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{\cos (x + h)})}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.3

$\frac{1}{\cos (x + h)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x + h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.5.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)}}{1}$

단계 1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (x + h)} \cdot 1$

단계 1.5

$\frac{1}{\cos^{2} (x + h)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (x + h)}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

단계 2.2

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

단계 2.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\cos^{2} (x + h)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} \cos (x + h))}^{2}}$

단계 2.4

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} x + h)}$

단계 2.5

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}$

단계 2.6

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

단계 3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{\cos^{2} (x + 0)}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x + 0)}$

단계 4.2

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x + 0)}$ 을 ${(\frac{1}{\cos (x + 0)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(\frac{1}{\cos (x + 0)})}^{2}$

단계 4.3

$\frac{1}{\cos (x + 0)}$ 을 $\sec (x + 0)$ 로 변환합니다.

$\sec^{2} (x + 0)$

단계 4.4

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\sec^{2} (x)$