미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x}{x - \sin (x)}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2.2

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2.3

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2.4

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2.5

$- 2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2.6

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2.7

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.7.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2.7.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2.7.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2.8

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.8.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2.8.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1 - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2.8.1.3

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - e^{0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2.8.1.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2.8.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2.8.1.6

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2.8.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.2.8.3

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 1.1.3.2

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

단계 1.1.3.3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

단계 1.1.3.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

단계 1.1.3.4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.4.1.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{0 - 0}$

단계 1.1.3.4.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{0 + 0}$

단계 1.1.3.4.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.5

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x}{x - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.3.5

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{- 2 x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.4.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.4.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.4.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.4.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.4.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.4.6

$e^{- 2 x}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.4.7

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.5

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.5.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

단계 1.3.6

합의 법칙에 의해 $x - \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

단계 1.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

단계 1.3.8

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.8.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 1.3.8.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 - \cos (x)}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 lim_{x \to 0} e^{2 x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.3

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.4

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.5

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.6

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} - 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.7

$- 2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.8

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $4$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.9

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.9.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 e^{2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.9.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 e^{2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.10.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.10.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{2 e^{0} + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.10.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.10.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.10.1.4

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{2 + 2 e^{0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.10.1.5

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{2 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.10.1.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 + 2 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.10.1.7

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{2 + 2 - 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.10.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.2.10.3

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

단계 2.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

단계 2.1.3.1.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

단계 2.1.3.1.3

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

단계 2.1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

단계 2.1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.3.1.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

단계 2.1.3.3.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{1 - 1}$

단계 2.1.3.3.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 2.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{2 x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.3.6

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.3.7

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.4

$\frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{- 2 x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.4.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.4.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.4.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.4.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.4.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.4.6

$e^{- 2 x}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.4.7

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.5

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.6

$4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

단계 2.3.7

합의 법칙에 의해 $1 - \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

단계 2.3.8

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

단계 2.3.9

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.9.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

단계 2.3.9.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 - - \sin (x)}$

단계 2.3.9.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 + 1 \sin (x)}$

단계 2.3.9.4

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 + \sin (x)}$

단계 2.3.10

$0$ 를 $\sin (x)$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\sin (x)}$

단계 3

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.2.2

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.2.3

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{4 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.2.4

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.2.5

$4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.2.6

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 4 e^{lim_{x \to 0} - 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.2.7

$- 2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 4 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.2.8

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.8.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{4 e^{2 \cdot 0} - 4 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.2.8.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{4 e^{2 \cdot 0} - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.2.9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.9.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4 e^{0} - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.2.9.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{4 \cdot 1 - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.2.9.1.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.2.9.1.4

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4 - 4 e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.2.9.1.5

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{4 - 4 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.2.9.1.6

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.2.9.2

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

단계 3.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

단계 3.1.3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{\sin (0)}$

단계 3.1.3.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{0}$

단계 3.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 3.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 3.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.3

$\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 e^{2 x}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.3.6

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.3.7

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.4

$\frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 e^{- 2 x}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.4.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.4.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.4.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.4.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.4.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} \cdot - 2)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.4.6

$e^{- 2 x}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (- 2 \cdot e^{- 2 x})}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.4.7

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} + 8 e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

단계 3.3.5

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} + 8 e^{- 2 x}}{\cos (x)}$

단계 4

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 8 e^{2 x} + 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

단계 4.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 8 e^{2 x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

단계 4.3

$8$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{8 lim_{x \to 0} e^{2 x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

단계 4.4

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{8 e^{lim_{x \to 0} 2 x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

단계 4.5

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

단계 4.6

$8$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 lim_{x \to 0} e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

단계 4.7

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 e^{lim_{x \to 0} - 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

단계 4.8

$- 2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

단계 4.9

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

단계 5

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

단계 5.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 \cdot 0}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

단계 5.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 \cdot 0}}{\cos (0)}$

단계 6

답을 간단히 합니다.

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단계 6.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

$8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 \cdot 0}$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0})}{\cos (0)}$

단계 6.1.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{8 (e^{0} + e^{- 2 \cdot 0})}{\cos (0)}$

단계 6.1.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{8 (1 + e^{- 2 \cdot 0})}{\cos (0)}$

단계 6.1.4

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{8 (1 + e^{0})}{\cos (0)}$

단계 6.1.5

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{8 (1 + 1)}{\cos (0)}$

단계 6.1.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{8 \cdot 2}{\cos (0)}$

단계 6.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{8 \cdot 2}{1}$

단계 6.3

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{1}$

단계 6.4

$16$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$16$