미적분 예제

$y = 13 x - 13$ , $y = 35 - x^{2}$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$13 x - 13 = 35 - x^{2}$

단계 1.2

$13 x - 13 = 35 - x^{2}$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에 $x^{2}$ 를 더합니다.

$13 x - 13 + x^{2} = 35$

단계 1.2.2

방정식의 양변에서 $35$ 를 뺍니다.

$13 x - 13 + x^{2} - 35 = 0$

단계 1.2.3

$- 13$ 에서 $35$ 을 뺍니다.

$13 x + x^{2} - 48 = 0$

단계 1.2.4

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$13 u + u^{2} - 48 = 0$

단계 1.2.4.2

AC 방법을 이용하여 $13 u + u^{2} - 48$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 48$ 이고 합은 $13$ 입니다.

$- 3, 16 + y = 35 - x^{2}$

단계 1.2.4.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 3) (u + 16) = 0$

단계 1.2.4.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x - 3) (x + 16) = 0$

단계 1.2.5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 3 = 0$

$x + 16 = 0 + y = 35 - x^{2}$

단계 1.2.6

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 1.2.6.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 1.2.7

$x + 16$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

$x + 16$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 16 = 0$

단계 1.2.7.2

방정식의 양변에서 $16$ 를 뺍니다.

$x = - 16$

단계 1.2.8

$(x - 3) (x + 16) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 3, - 16$

단계 1.3

$x = 3$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$y = 35 - {(3)}^{2}$

단계 1.3.2

$y = 35 - {(3)}^{2}$ 에서 $x$ 에 $3$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 35 - 3^{2}$

단계 1.3.2.2

$35 - 3^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = 35 - 1 \cdot 9$

단계 1.3.2.2.1.2

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$y = 35 - 9$

단계 1.3.2.2.2

$35$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$y = 26$

단계 1.4

$x = - 16$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $- 16$ 를 대입합니다.

$y = 35 - {(- 16)}^{2}$

단계 1.4.2

$35 - {(- 16)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1.1

$- 16$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = 35 - 1 \cdot 256$

단계 1.4.2.1.2

$- 1$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$y = 35 - 256$

단계 1.4.2.2

$35$ 에서 $256$ 을 뺍니다.

$y = - 221$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(3, 26)$

$(- 16, - 221)$

$(3, 26)$

$(- 16, - 221)$

단계 2

$35$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - x^{2} + 35$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 16}^{3} - x^{2} + 35 d x - \int_{- 16}^{3} 13 x - 13 d x$

단계 4

$- 16$ 과(와) $3$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 16}^{3} - x^{2} + 35 - (13 x - 13) d x$

단계 4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- x^{2} + 35 - (13 x) - - 13$

단계 4.2.2

$13$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- x^{2} + 35 - 13 x - - 13$

단계 4.2.3

$- 1$ 에 $- 13$ 을 곱합니다.

$- x^{2} + 35 - 13 x + 13$

$\int_{- 16}^{3} - x^{2} + 35 - 13 x + 13 d x$

단계 4.3

$35$ 를 $13$ 에 더합니다.

$\int_{- 16}^{3} - x^{2} - 13 x + 48 d x$

단계 4.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 16}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 16}^{3} - 13 x d x + \int_{- 16}^{3} 48 d x$

단계 4.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{- 16}^{3} x^{2} d x + \int_{- 16}^{3} - 13 x d x + \int_{- 16}^{3} 48 d x$

단계 4.6

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 16}^{3}) + \int_{- 16}^{3} - 13 x d x + \int_{- 16}^{3} 48 d x$

단계 4.7

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 16}^{3}) + \int_{- 16}^{3} - 13 x d x + \int_{- 16}^{3} 48 d x$

단계 4.8

$- 13$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 13$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 16}^{3}) - 13 \int_{- 16}^{3} x d x + \int_{- 16}^{3} 48 d x$

단계 4.9

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 16}^{3}) - 13 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 16}^{3}) + \int_{- 16}^{3} 48 d x$

단계 4.10

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 16}^{3}) - 13 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 16}^{3}) + \int_{- 16}^{3} 48 d x$

단계 4.11

상수 규칙을 적용합니다.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 16}^{3}) - 13 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 16}^{3}) + 48 x]_{- 16}^{3}$

단계 4.12

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.1

$3$ , $- 16$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 16}^{3}) + 48 x]_{- 16}^{3}$

단계 4.12.2

$3$ , $- 16$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + 48 x]_{- 16}^{3}$

단계 4.12.3

$3$ , $- 16$ 일 때, $48 x$ 값을 계산합니다.

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$- (\frac{27}{3} - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.2

$27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.2.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- (\frac{9}{1} - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.2.2.4

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (9 - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.3

$- 16$ 를 $3$ 승 합니다.

$- (9 - \frac{- 4096}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- (9 - - \frac{4096}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (9 + 1 (\frac{4096}{3})) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.6

$\frac{4096}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (9 + \frac{4096}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.7

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4096}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.8

$9$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{4096}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{9 \cdot 3 + 4096}{3} - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.10.1

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{27 + 4096}{3} - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.10.2

$27$ 를 $4096$ 에 더합니다.

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.11

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.12

$- 16$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - \frac{256}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.13

$256$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.13.1

$256$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 128}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.13.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 128}{2 (1)}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - \frac{128}{1}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.13.2.4

$128$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - 1 \cdot 128) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.14

$- 1$ 에 $128$ 을 곱합니다.

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - 128) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.15

공통 분모를 가지는 분수로 $- 128$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - 128 \cdot \frac{2}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.16

$- 128$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} + \frac{- 128 \cdot 2}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.17

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{4123}{3} - 13 \frac{9 - 128 \cdot 2}{2} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.18

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.18.1

$- 128$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{4123}{3} - 13 \frac{9 - 256}{2} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.18.2

$9$ 에서 $256$ 을 뺍니다.

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{- 247}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.19

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4123}{3} - 13 (- \frac{247}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.20

$- 1$ 에 $- 13$ 을 곱합니다.

$- \frac{4123}{3} + 13 (\frac{247}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.21

$13$ 와 $\frac{247}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{4123}{3} + \frac{13 \cdot 247}{2} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.22

$13$ 에 $247$ 을 곱합니다.

$- \frac{4123}{3} + \frac{3211}{2} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.23

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{4123}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{4123}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3211}{2} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.24

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3211}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{4123}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3211}{2} \cdot \frac{3}{3} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.25

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.25.1

$\frac{4123}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{4123 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3211}{2} \cdot \frac{3}{3} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.25.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{4123 \cdot 2}{6} + \frac{3211}{2} \cdot \frac{3}{3} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.25.3

$\frac{3211}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{4123 \cdot 2}{6} + \frac{3211 \cdot 3}{2 \cdot 3} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.25.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{4123 \cdot 2}{6} + \frac{3211 \cdot 3}{6} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.26

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 4123 \cdot 2 + 3211 \cdot 3}{6} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.27

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.27.1

$- 4123$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 8246 + 3211 \cdot 3}{6} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.27.2

$3211$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 8246 + 9633}{6} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.27.3

$- 8246$ 를 $9633$ 에 더합니다.

$\frac{1387}{6} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.28

$48$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1387}{6} + 144 - 48 \cdot - 16$

단계 4.12.4.29

$- 48$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$\frac{1387}{6} + 144 + 768$

단계 4.12.4.30

$144$ 를 $768$ 에 더합니다.

$\frac{1387}{6} + 912$

단계 4.12.4.31

공통 분모를 가지는 분수로 $912$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{1387}{6} + 912 \cdot \frac{6}{6}$

단계 4.12.4.32

$912$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{1387}{6} + \frac{912 \cdot 6}{6}$

단계 4.12.4.33

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1387 + 912 \cdot 6}{6}$

단계 4.12.4.34

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.4.34.1

$912$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{1387 + 5472}{6}$

단계 4.12.4.34.2

$1387$ 를 $5472$ 에 더합니다.

$\frac{6859}{6}$

단계 5