미적분 예제

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , $(1, 0)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = 0$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{2} - 1$ , $g (x) = x^{2} + x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.4.2

$x^{2} + x + 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} + x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.8

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.2.9

$2 x + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x^{2} + 1) (2 x + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1.6.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.6.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1.6.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.6.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1.6.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.6.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.6.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.6.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.6.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.6.5

$2 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.1.6.6

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.2

$2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.3.4.2.1

$2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 0 - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.2.2

$2 x^{2} + 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.3

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} + 2 x + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.3.4.4

$2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

단계 1.4

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

괄호를 제거합니다.

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

단계 1.5.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.5.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1 + 4 (1) + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

단계 1.5.2.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + 4 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

단계 1.5.2.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{5 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

단계 1.5.2.4

$5$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{6}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

단계 1.5.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.5.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{6}{{(1 + 1 + 1)}^{2}}$

단계 1.5.3.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{6}{{(2 + 1)}^{2}}$

단계 1.5.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{6}{3^{2}}$

단계 1.5.3.4

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{6}{9}$

단계 1.5.4

$6$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.4.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2)}{9}$

단계 1.5.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

단계 1.5.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

단계 1.5.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{2}{3}$ 과 주어진 점 $(1, 0)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (0) = \frac{2}{3} \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 0 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

단계 2.3.2

$\frac{2}{3} \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 1$

단계 2.3.2.2

$\frac{2}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

단계 2.3.2.3

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.3.1

$\frac{2}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

단계 2.3.2.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3}$

단계 2.3.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}$

단계 3