미적분 예제

${(5 x)}^{x}$

단계 1

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{x}]$

단계 1.2

$5 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [5^{x} x^{x}]$

단계 2

$f (x) = 5^{x}$ , $g (x) = x^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5^{x} \frac{d}{d x} [x^{x}] + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

단계 3

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$x^{x}$ 을 $e^{\ln (x^{x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$5^{x} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}] + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

단계 3.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{x})$ 을 전개합니다.

$5^{x} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

단계 4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$5^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $x \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

단계 5

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

단계 6

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

단계 7

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

단계 7.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1

공약수로 약분합니다.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

단계 7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

단계 7.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

단계 7.4

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} \frac{d}{d x} [5^{x}]$

단계 8

$a$ = $5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

단계 9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$5^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + 5^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

단계 9.3

$e^{x \ln (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5^{x} e^{x \ln (x)} + 5^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (5^{x} \ln (5))$

단계 9.4

항을 다시 정렬합니다.

$5^{x} e^{x \ln (x)} + 5^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 5^{x} x^{x} \ln (5)$