미적분 예제

$\frac{4 e^{9 x}}{7 x - 2}$

단계 1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 e^{9 x}}{7 x - 2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{9 x}}{7 x - 2}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{9 x}}{7 x - 2}]$

단계 2

$f (x) = e^{9 x}$ , $g (x) = 7 x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(7 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{9 x}] - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $9 x$ 로 바꿉니다.

$4 \frac{(7 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x]) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(7 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [9 x]) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $9 x$ 로 바꿉니다.

$4 \frac{(7 x - 2) (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x]) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{(7 x - 2) e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(7 x - 2) e^{9 x} (9 \cdot 1) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{(7 x - 2) e^{9 x} \cdot 9 - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 4.3.2

$(7 x - 2) e^{9 x}$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$4 \frac{9 \cdot ((7 x - 2) e^{9 x}) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 4.4

합의 법칙에 의해 $7 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 4.5

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 4.7

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (7 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 4.8

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (7 + 0)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 4.9

분수를 통분합니다.

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단계 4.9.1

$7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} \cdot 7}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 4.9.2

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - 7 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 4.9.3

$4$ 와 $\frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - 7 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 (9 (7 x - 2) e^{9 x} - 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 ((9 (7 x) + 9 \cdot - 2) e^{9 x} - 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (9 (7 x) e^{9 x} + 9 \cdot - 2 e^{9 x} - 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (9 (7 x) e^{9 x}) + 4 (9 \cdot - 2 e^{9 x}) + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 5.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1.1

$7$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (63 x e^{9 x}) + 4 (9 \cdot - 2 e^{9 x}) + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.2

$63$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{252 (x e^{9 x}) + 4 (9 \cdot - 2 e^{9 x}) + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.3

$9$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{252 x e^{9 x} + 4 (- 18 e^{9 x}) + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.4

$- 18$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{252 x e^{9 x} - 72 e^{9 x} + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.5

$- 7$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{252 x e^{9 x} - 72 e^{9 x} - 28 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 5.4.2

$- 72 e^{9 x}$ 에서 $28 e^{9 x}$ 을 뺍니다.

$\frac{252 x e^{9 x} - 100 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 5.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{252 e^{9 x} x - 100 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 5.6

$252 e^{9 x} x - 100 e^{9 x}$ 에서 $4 e^{9 x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.6.1

$252 e^{9 x} x$ 에서 $4 e^{9 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 e^{9 x} (63 x) - 100 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 5.6.2

$- 100 e^{9 x}$ 에서 $4 e^{9 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 e^{9 x} (63 x) + 4 e^{9 x} (- 25)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

단계 5.6.3

$4 e^{9 x} (63 x) + 4 e^{9 x} (- 25)$ 에서 $4 e^{9 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 e^{9 x} (63 x - 25)}{{(7 x - 2)}^{2}}$