미적분 예제

$lim_{x \to 153} \frac{x - 153}{\sqrt{x + 16} - 13}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 153} x - 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

$x$ 가 $153$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 153} x - lim_{x \to 153} 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

단계 1.1.2.1.2

$x$ 가 $153$ 에 가까워질 때 상수값 $153$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{lim_{x \to 153} x - 1 \cdot 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

단계 1.1.2.2

$x$ 에 $153$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{153 - 1 \cdot 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

단계 1.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$- 1$ 에 $153$ 을 곱합니다.

$\frac{153 - 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

단계 1.1.2.3.2

$153$ 에서 $153$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

$x$ 가 $153$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - lim_{x \to 153} 13}$

단계 1.1.3.1.2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 153} x + 16} - lim_{x \to 153} 13}$

단계 1.1.3.1.3

$x$ 가 $153$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 153} x + lim_{x \to 153} 16} - lim_{x \to 153} 13}$

단계 1.1.3.1.4

$x$ 가 $153$ 에 가까워질 때 상수값 $16$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 153} x + 16} - lim_{x \to 153} 13}$

단계 1.1.3.1.5

$x$ 가 $153$ 에 가까워질 때 상수값 $13$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 153} x + 16} - 1 \cdot 13}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $153$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{\sqrt{153 + 16} - 1 \cdot 13}$

단계 1.1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.3.1.1

$153$ 를 $16$ 에 더합니다.

$\frac{0}{\sqrt{169} - 1 \cdot 13}$

단계 1.1.3.3.1.2

$169$ 을 $13^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{0}{\sqrt{13^{2}} - 1 \cdot 13}$

단계 1.1.3.3.1.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{0}{13 - 1 \cdot 13}$

단계 1.1.3.3.1.4

$- 1$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{13 - 13}$

단계 1.1.3.3.2

$13$ 에서 $13$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 153} \frac{x - 153}{\sqrt{x + 16} - 13} = lim_{x \to 153} \frac{\frac{d}{d x} [x - 153]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 153} \frac{\frac{d}{d x} [x - 153]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $x - 153$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 153]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 153} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 153]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

단계 1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 153]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

단계 1.3.4

$- 153$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 153$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 153$ 입니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

단계 1.3.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

단계 1.3.6

합의 법칙에 의해 $\sqrt{x + 16} - 13$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16}] + \frac{d}{d x} [- 13]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16}] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 16}$ 을(를) ${(x + 16)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{(x + 16)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + 16$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.7.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 16$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 16] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 16] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7.2.3

$u$ 를 모두 $x + 16$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 16] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7.3

합의 법칙에 의해 $x + 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7.5

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.7.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7.11

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7.12

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{{(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7.13

$\frac{{(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{{(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.7.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 13]}$

단계 1.3.8

$- 13$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 13$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 13$ 입니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

단계 1.3.9

$\frac{1}{2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}}}}$

단계 1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 153} 1 (2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}})$

단계 1.5

${(x + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{x + 16}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 153} 1 (2 \sqrt{x + 16})$

단계 1.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 153} 2 \sqrt{x + 16}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16}$

단계 2.2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$2 \sqrt{lim_{x \to 153} x + 16}$

단계 2.3

$x$ 가 $153$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$2 \sqrt{lim_{x \to 153} x + lim_{x \to 153} 16}$

단계 2.4

$x$ 가 $153$ 에 가까워질 때 상수값 $16$ 의 극한을 구합니다.

$2 \sqrt{lim_{x \to 153} x + 16}$

단계 3

$x$ 에 $153$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$2 \sqrt{153 + 16}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$153$ 를 $16$ 에 더합니다.

$2 \sqrt{169}$

단계 4.2

$169$ 을 $13^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \sqrt{13^{2}}$

단계 4.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$2 \cdot 13$

단계 4.4

$2$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$26$