미적분 예제

$f (x) = \frac{2 x}{x + \sqrt{x}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x}{x + x^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + x^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{(x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{(x + x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.2

$x + x^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $x + x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.5

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 11

$2$ 와 $\frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x + x^{\frac{1}{2}} - x \cdot 1 - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x \cdot 1) + 2 (- x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.3.1.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 (- x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.3.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 (- x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.3.1.3

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 (- \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.3.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.3.1.4.1

$- \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 \frac{- x}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.3.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 \frac{- x}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.3.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + \frac{- x}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.3.1.5

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.3.1.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 12.3.1.6.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - (x^{- \frac{1}{2}} x)}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.3.1.6.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 12.3.1.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.3.1.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{- \frac{1}{2} + 1}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.3.1.6.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.3.1.6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.3.1.6.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.3.2

$2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{\frac{1}{2}}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 12.3.2.1

$2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 0 - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.3.2.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.3.3

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 12.4.1

$x + x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 12.4.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{1} + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.4.1.2

$x^{1}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12.4.1.3

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1)}^{2}}$

단계 12.4.1.4

$x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1))}^{2}}$

단계 12.4.2

$x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

단계 12.4.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 12.4.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

단계 12.4.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.4.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

단계 12.4.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

단계 12.4.4

간단히 합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

단계 12.5

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{x {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

단계 12.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 12.6.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2}} x {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

단계 12.6.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 12.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

단계 12.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2} + 1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

단계 12.6.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

단계 12.6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

단계 12.6.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$