미적분 예제

$f (x) = \frac{550 x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 12}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + 12}$ 을(를) ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{550 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.2

$550$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{550 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $550 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$550 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3

${({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

공약수로 약분합니다.

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 12)}^{1}}$

단계 4

간단히 합니다.

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 12}$

단계 5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 12}$

단계 5.2

${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$550 \frac{2 \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 12}$

단계 6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 12$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 12$ 로 바꿉니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

단계 6.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

단계 6.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 12$ 로 바꿉니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

단계 7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

단계 8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

단계 9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

단계 10

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

단계 10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

단계 11

분수를 통분합니다.

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단계 11.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

단계 11.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

단계 11.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

단계 11.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]}{x^{2} + 12}$

단계 12

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ 가 됩니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])}{x^{2} + 12}$

단계 13

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [12])}{x^{2} + 12}$

단계 14

$12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $12$ 입니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 12}$

단계 15

분수를 통분합니다.

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단계 15.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 12}$

단계 15.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - 2 \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 12}$

단계 15.3

$- 2$ 와 $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 12}$

단계 15.4

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2} x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 16

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 17

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 18

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 19

$- 2 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 20

공약수로 약분합니다.

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단계 20.1

$2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 ({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 12}$

단계 20.2

공약수로 약분합니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 20.3

수식을 다시 씁니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 21

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 22

공통분모를 사용하여 $2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x$ 와 $- \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 하나로 묶습니다.

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단계 22.1

${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$550 \frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 22.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 22.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 23

지수를 더하여 ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 23.1

${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$550 \frac{\frac{2 x ({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 23.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 23.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 23.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{2}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 23.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{1} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 24

$2 x {(x^{2} + 12)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$550 \frac{\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

단계 25

$\frac{\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$550 (\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 12})$

단계 26

$\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{x^{2} + 12}$ 을 곱합니다.

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 12)}$

단계 27

지수를 더하여 ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{2} + 12$ 을 곱합니다.

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단계 27.1

${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{2} + 12$ 을 곱합니다.

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단계 27.1.1

$x^{2} + 12$ 를 $1$ 승 합니다.

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{1}}$

단계 27.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

단계 27.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

단계 27.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

단계 27.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 28

$550$ 와 $\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{550 (2 x (x^{2} + 12) - x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 29

간단히 합니다.

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단계 29.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{550 (2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 12 - x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 29.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{550 (2 x \cdot x^{2}) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 29.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 29.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 29.3.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 29.3.1.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{550 (2 (x^{2} x)) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 29.3.1.1.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 29.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{550 (2 (x^{2} x^{1})) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 29.3.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{550 (2 x^{2 + 1}) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 29.3.1.1.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{550 (2 x^{3}) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 29.3.1.2

$2$ 에 $550$ 을 곱합니다.

$\frac{1100 x^{3} + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 29.3.1.3

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1100 x^{3} + 550 (24 x) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 29.3.1.4

$24$ 에 $550$ 을 곱합니다.

$\frac{1100 x^{3} + 13200 x + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 29.3.1.5

$- 1$ 에 $550$ 을 곱합니다.

$\frac{1100 x^{3} + 13200 x - 550 x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 29.3.2

$1100 x^{3}$ 에서 $550 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{550 x^{3} + 13200 x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 29.4

$550 x^{3} + 13200 x$ 에서 $550 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 29.4.1

$550 x^{3}$ 에서 $550 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{550 x (x^{2}) + 13200 x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 29.4.2

$13200 x$ 에서 $550 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{550 x (x^{2}) + 550 x (24)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 29.4.3

$550 x (x^{2}) + 550 x (24)$ 에서 $550 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{550 x (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$