미적분 예제

$y = \frac{1 - 3 x}{x^{2} + 7}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 3 x}{x^{2} + 7})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = 1 - 3 x$ , $g (x) = x^{2} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [1 - 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 7) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.2.4

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 7) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 7) (- 3 \cdot 1) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.6.1

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} + 7) \cdot - 3 - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.2.6.2

$x^{2} + 7$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{- 3 \cdot (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.2.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.2.9

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.2.10

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.2.10.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - 2 (1 - 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 - 2 (1 - 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 + (- 2 \cdot 1 - 2 (- 3 x)) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 - 2 \cdot 1 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.4.1.1

$- 3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 \cdot 1 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3.4.1.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3.4.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.4.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3.4.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3.4.1.4

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3.4.2

$- 3 x^{2}$ 를 $6 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{2} - 21 - 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3.6

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 3.3.6.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot - 21 = - 63$ 이고 합이 $b = - 2$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 3.3.6.1.1

$- 2 x$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x^{2} - 2 (x) - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3.6.1.2

$- 2$ 를 $7$ + $- 9$ 로 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{2} + (7 - 9) x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3.6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x^{2} + 7 x - 9 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3.6.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 3.3.6.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(3 x^{2} + 7 x) - 9 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3.6.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x (3 x + 7) - 3 (3 x + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3.6.3

최대공약수 $3 x + 7$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$