미적분 예제

$9 e^{x y} - 4 y^{2} = 7$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (9 e^{x y} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (7)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $9 e^{x y} - 4 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [9 e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [9 e^{x y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 e^{x y}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [e^{x y}]$ 입니다.

$9 \frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

단계 2.2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$9 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

단계 2.2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

단계 2.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$9 (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

단계 2.2.3

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 (e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

단계 2.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$9 (e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

단계 2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 (e^{x y} (x y' + y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

단계 2.2.6

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 e^{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 y^{2}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$9 e^{x y} (x y' + y) - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$9 e^{x y} (x y' + y) - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 e^{x y} (x y' + y) - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$9 e^{x y} (x y' + y) - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$9 e^{x y} (x y' + y) - 4 (2 y y')$

단계 2.3.4

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$9 e^{x y} (x y' + y) - 8 y y'$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$9 e^{x y} (x y') + 9 e^{x y} y - 8 y y'$

단계 2.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$9 e^{x y} x y' + 9 e^{x y} y - 8 y y'$

단계 3

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$9 e^{x y} x y' + 9 e^{x y} y - 8 y y' = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$9 e^{x y} x y' + 9 e^{x y} y - 8 y y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$9 x y' e^{x y} + 9 y e^{x y} - 8 y y' = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $9 y e^{x y}$ 를 뺍니다.

$9 x y' e^{x y} - 8 y y' = - 9 y e^{x y}$

단계 5.3

$9 x y' e^{x y} - 8 y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$9 x y' e^{x y}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (9 x e^{x y}) - 8 y y' = - 9 y e^{x y}$

단계 5.3.2

$- 8 y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (9 x e^{x y}) + y' (- 8 y) = - 9 y e^{x y}$

단계 5.3.3

$y' (9 x e^{x y}) + y' (- 8 y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (9 x e^{x y} - 8 y) = - 9 y e^{x y}$

단계 5.4

$y' (9 x e^{x y} - 8 y) = - 9 y e^{x y}$ 의 각 항을 $9 x e^{x y} - 8 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$y' (9 x e^{x y} - 8 y) = - 9 y e^{x y}$ 의 각 항을 $9 x e^{x y} - 8 y$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (9 x e^{x y} - 8 y)}{9 x e^{x y} - 8 y} = \frac{- 9 y e^{x y}}{9 x e^{x y} - 8 y}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.1

$9 x e^{x y} - 8 y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (9 x e^{x y} - 8 y)}{9 x e^{x y} - 8 y} = \frac{- 9 y e^{x y}}{9 x e^{x y} - 8 y}$

단계 5.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 9 y e^{x y}}{9 x e^{x y} - 8 y}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{9 y e^{x y}}{9 x e^{x y} - 8 y}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 y e^{x y}}{9 x e^{x y} - 8 y}$