미적분 예제

$e^{x^{2} + y} = 2 x + 2 y$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (e^{x^{2} + y}) = \frac{d}{d x} (2 x + 2 y)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2} + y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

단계 2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + y$ 로 바꿉니다.

$e^{x^{2} + y} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x^{2} + y} (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $2 x + 2 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 3.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [2 y]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [2 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$2 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 + 2 y'$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$2 y' + 2$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 2 y' + 2$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

다시 씁니다.

$0 + 0 + e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 2 y' + 2$

단계 5.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 2 y' + 2$

단계 5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{x^{2} + y} (2 x) + e^{x^{2} + y} y' = 2 y' + 2$

단계 5.1.4

식을 간단히 합니다.

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단계 5.1.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y' = 2 y' + 2$

단계 5.1.4.2

$2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y} = 2 y' + 2$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $2 y'$ 를 뺍니다.

$2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y} - 2 y' = 2$

단계 5.3

방정식의 양변에서 $2 x e^{x^{2} + y}$ 를 뺍니다.

$y' e^{x^{2} + y} - 2 y' = 2 - 2 x e^{x^{2} + y}$

단계 5.4

$y' e^{x^{2} + y} - 2 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.4.1

$y' e^{x^{2} + y}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (e^{x^{2} + y}) - 2 y' = 2 - 2 x e^{x^{2} + y}$

단계 5.4.2

$- 2 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (e^{x^{2} + y}) + y' \cdot - 2 = 2 - 2 x e^{x^{2} + y}$

단계 5.4.3

$y' (e^{x^{2} + y}) + y' \cdot - 2$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (e^{x^{2} + y} - 2) = 2 - 2 x e^{x^{2} + y}$

단계 5.5

$y' (e^{x^{2} + y} - 2) = 2 - 2 x e^{x^{2} + y}$ 의 각 항을 $e^{x^{2} + y} - 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$y' (e^{x^{2} + y} - 2) = 2 - 2 x e^{x^{2} + y}$ 의 각 항을 $e^{x^{2} + y} - 2$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (e^{x^{2} + y} - 2)}{e^{x^{2} + y} - 2} = \frac{2}{e^{x^{2} + y} - 2} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 2}$

단계 5.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.2.1

$e^{x^{2} + y} - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (e^{x^{2} + y} - 2)}{e^{x^{2} + y} - 2} = \frac{2}{e^{x^{2} + y} - 2} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 2}$

단계 5.5.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{2}{e^{x^{2} + y} - 2} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 2}$

단계 5.5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{2 - 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 2}$

단계 5.5.3.2

$2 - 2 x e^{x^{2} + y}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.5.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (1) - 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 2}$

단계 5.5.3.2.2

$- 2 x e^{x^{2} + y}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (1) + 2 (- x e^{x^{2} + y})}{e^{x^{2} + y} - 2}$

단계 5.5.3.2.3

$2 (1) + 2 (- x e^{x^{2} + y})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (1 - x e^{x^{2} + y})}{e^{x^{2} + y} - 2}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - x e^{x^{2} + y})}{e^{x^{2} + y} - 2}$