미적분 예제

$x y - \cos (x y) = 8$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x y - \cos (x y)) = \frac{d}{d x} (8)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x y - \cos (x y)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \cos (x y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \cos (x y)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x y)]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x y)]$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x y)]$

단계 2.2.4

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- \cos (x y)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- \cos (x y)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos (x y)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ 입니다.

$x y' + y - \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

단계 2.3.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$x y' + y - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

단계 2.3.2.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$x y' + y - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y])$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$x y' + y - (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

단계 2.3.3

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x y' + y - (- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x y' + y - (- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x y' + y - (- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1))$

단계 2.3.6

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x y' + y - (- \sin (x y) (x y' + y))$

단계 2.3.7

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x y' + y + 1 (\sin (x y) (x y' + y))$

단계 2.3.8

$\sin (x y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x y' + y + \sin (x y) (x y' + y)$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x y' + y + \sin (x y) (x y') + \sin (x y) y$

단계 2.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$x y' + x \sin (x y) y' + y \sin (x y) + y$

단계 3

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x y' + x \sin (x y) y' + y \sin (x y) + y = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$x y' + x \sin (x y) y' + y \sin (x y) + y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x y' + x y' \sin (x y) + y \sin (x y) + y = 0$

단계 5.2

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $y \sin (x y)$ 를 뺍니다.

$x y' + x y' \sin (x y) + y = - y \sin (x y)$

단계 5.2.2

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$x y' + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - y$

단계 5.3

$x y' + x y' \sin (x y)$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$x y'$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

$x y' \cdot 1 + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - y$

단계 5.3.2

$x y' \sin (x y)$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

$x y' \cdot 1 + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - y$

단계 5.3.3

$x y' \cdot 1 + x y' \sin (x y)$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

$x y' (1 + \sin (x y)) = - y \sin (x y) - y$

단계 5.4

$x y' (1 + \sin (x y)) = - y \sin (x y) - y$ 의 각 항을 $x (1 + \sin (x y))$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$x y' (1 + \sin (x y)) = - y \sin (x y) - y$ 의 각 항을 $x (1 + \sin (x y))$ 로 나눕니다.

$\frac{x y' (1 + \sin (x y))}{x (1 + \sin (x y))} = \frac{- y \sin (x y)}{x (1 + \sin (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \sin (x y))}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y' (1 + \sin (x y))}{x (1 + \sin (x y))} = \frac{- y \sin (x y)}{x (1 + \sin (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \sin (x y))}$

단계 5.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (1 + \sin (x y))}{1 + \sin (x y)} = \frac{- y \sin (x y)}{x (1 + \sin (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \sin (x y))}$

단계 5.4.2.2

$1 + \sin (x y)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (1 + \sin (x y))}{1 + \sin (x y)} = \frac{- y \sin (x y)}{x (1 + \sin (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \sin (x y))}$

단계 5.4.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- y \sin (x y)}{x (1 + \sin (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \sin (x y))}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (1 + \sin (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \sin (x y))}$

단계 5.4.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (1 + \sin (x y))} - \frac{y}{x (1 + \sin (x y))}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x y)}{x (1 + \sin (x y))} - \frac{y}{x (1 + \sin (x y))}$