미적분 예제

$x^{6} e^{x} - 5$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{6} e^{x} - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$f (x) = x^{6}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{6} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{6} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.1.2.3

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

단계 1.1.3

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 0$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.4.1

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5})$

단계 1.1.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$

단계 1.1.4.3

$e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$ 입니다.

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} = 0$

단계 2.2

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$ 에서 $x^{5} e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$x^{6} e^{x}$ 에서 $x^{5} e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$x^{5} e^{x} (x) + 6 x^{5} e^{x} = 0$

단계 2.2.2

$6 x^{5} e^{x}$ 에서 $x^{5} e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$x^{5} e^{x} (x) + x^{5} e^{x} (6) = 0$

단계 2.2.3

$x^{5} e^{x} (x) + x^{5} e^{x} (6)$ 에서 $x^{5} e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$x^{5} e^{x} (x + 6) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{5} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 6 = 0$

단계 2.4

$x^{5}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$x^{5}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{5} = 0$

단계 2.4.2

$x^{5} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \sqrt[5]{0}$

단계 2.4.2.2

$\sqrt[5]{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

단계 2.4.2.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 2.5

$e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} = 0$

단계 2.5.2

$e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

단계 2.5.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.5.2.3

$e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 2.6

$x + 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.6.1

$x + 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 6 = 0$

단계 2.6.2

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x = - 6$

단계 2.7

$x^{5} e^{x} (x + 6) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 6$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $x^{6} e^{x} - 5$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

${(0)}^{6} e^{0} - 5$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 e^{0} - 5$

단계 4.1.2.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$0 \cdot 1 - 5$

단계 4.1.2.1.3

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 5$

단계 4.1.2.2

$0$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$- 5$

단계 4.2

$x = - 6$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$x$ 에 $- 6$ 를 대입합니다.

${(- 6)}^{6} e^{- 6} - 5$

단계 4.2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$- 6$ 를 $6$ 승 합니다.

$46656 e^{- 6} - 5$

단계 4.2.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$46656 \frac{1}{e^{6}} - 5$

단계 4.2.2.3

$46656$ 와 $\frac{1}{e^{6}}$ 을 묶습니다.

$\frac{46656}{e^{6}} - 5$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(0, - 5), (- 6, \frac{46656}{e^{6}} - 5)$

단계 5