미적분 예제

$\frac{e^{x}}{x}$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

단계 1.3.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

단계 1.4.2

$e^{x} x - e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.4.2.1

$e^{x} x$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

단계 1.4.2.2

$- e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

단계 1.4.2.3

$e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$e^{x} (x - 1) = 0$

단계 2.2

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

단계 2.2.2

$e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.2.2.1

$e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} = 0$

단계 2.2.2.2

$e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.2.2.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

단계 2.2.2.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.2.2.2.3

$e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 2.2.3

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.2.3.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.2.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.2.4

$e^{x} (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1$

단계 3

원래 함수 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ 을 $x = 1$ 에서 풉니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \frac{e^{1}}{1}$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$e^{1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (1) = e$

단계 3.2.2

최종 답은 $e$ 입니다.

$e$

단계 4

함수 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ 의 수평 접선은 $y = e$ 입니다.

$y = e$

단계 5