미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{x}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 1.1.1.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2}$

단계 1.1.1.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.2.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.2.3

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.2.4

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.2.2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 1.1.2.2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.2.6.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 x^{- 3} + 0$

단계 1.1.2.2.6.2

$2 x^{- 3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x^{- 3}$

단계 1.1.2.3

간단히 합니다.

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단계 1.1.2.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2 \frac{1}{x^{3}}$

단계 1.1.2.3.2

$2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{2}{x^{3}}$ 입니다.

$\frac{2}{x^{3}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{2}{x^{3}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 = 0$

단계 1.2.3

$2 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 2

$f (x) = \frac{1}{x}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 2.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x = 0$

단계 2.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 4

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f'' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$2$ 및 ${(- 2)}^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1.1

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2}{{(- 2)}^{3}}$

단계 4.2.1.2

$- 1 (- 2)$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

단계 4.2.1.3

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1.3.1

${(- 2)}^{3}$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

단계 4.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

단계 4.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

단계 4.2.2

식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{4}$

단계 4.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (- 2) = - \frac{1}{4}$

단계 4.2.3

최종 답은 $- \frac{1}{4}$ 입니다.

$- \frac{1}{4}$

단계 4.3

$f'' (- 2)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 아래로 오목함

단계 5

$(0, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$2$ 및 ${(2)}^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

단계 5.2.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1.2.1

${(2)}^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

단계 5.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

단계 5.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (2) = \frac{1}{2^{2}}$

단계 5.2.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

단계 5.2.3

최종 답은 $\frac{1}{4}$ 입니다.

$\frac{1}{4}$

단계 5.3

$f'' (2)$ 이 양수이므로 그래프는 $(0, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(0, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 6

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(0, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7