미적분 예제

$f (x) = {(x - 5)}^{4}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 1.1.1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 1.1.1.1.3

$u$ 를 모두 $x - 5$ 로 바꿉니다.

$4 {(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 1.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$4 {(x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 1.1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(x - 5)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 1.1.1.2.3

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$4 {(x - 5)}^{3} (1 + 0)$

단계 1.1.1.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 {(x - 5)}^{3} \cdot 1$

단계 1.1.1.2.4.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 {(x - 5)}^{3}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 {(x - 5)}^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{3}]$

단계 1.1.2.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 5$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

단계 1.1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

단계 1.1.2.2.3

$u$ 를 모두 $x - 5$ 로 바꿉니다.

$4 (3 {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

단계 1.1.2.3

미분합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

단계 1.1.2.3.2

합의 법칙에 의해 $x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$12 {(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 1.1.2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 {(x - 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 1.1.2.3.4

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$12 {(x - 5)}^{2} (1 + 0)$

단계 1.1.2.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12 {(x - 5)}^{2} \cdot 1$

단계 1.1.2.3.5.2

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 {(x - 5)}^{2}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $12 {(x - 5)}^{2}$ 입니다.

$12 {(x - 5)}^{2}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $12 {(x - 5)}^{2} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$12 {(x - 5)}^{2} = 0$

단계 1.2.2

$12 {(x - 5)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $12$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

$12 {(x - 5)}^{2} = 0$ 의 각 항을 $12$ 로 나눕니다.

$\frac{12 {(x - 5)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

단계 1.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.2.1

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 {(x - 5)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

단계 1.2.2.2.1.2

${(x - 5)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x - 5)}^{2} = \frac{0}{12}$

단계 1.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.3.1

$0$ 을 $12$ 로 나눕니다.

${(x - 5)}^{2} = 0$

단계 1.2.3

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 1.2.4

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

단계 4

$(- \infty, 5)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 12 {((0) - 5)}^{2}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$0$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = 12 {(- 5)}^{2}$

단계 4.2.2

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0) = 12 \cdot 25$

단계 4.2.3

$12$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 300$

단계 4.2.4

최종 답은 $300$ 입니다.

$300$

단계 4.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, 5)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, 5)$ 에서 위로 오목함

단계 5

$(5, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $8$ 을 대입합니다.

$f'' (8) = 12 {((8) - 5)}^{2}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$8$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f'' (8) = 12 \cdot 3^{2}$

단계 5.2.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (8) = 12 \cdot 9$

단계 5.2.3

$12$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f'' (8) = 108$

단계 5.2.4

최종 답은 $108$ 입니다.

$108$

단계 5.3

$f'' (8)$ 이 양수이므로 그래프는 $(5, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(5, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 6

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, 5)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(5, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7