미적분 예제

$f (x) = {(2 x + 7)}^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 2 x + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x + 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

단계 1.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $2 x + 7$ 로 바꿉니다.

$3 {(2 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$3 {(2 x + 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])$

단계 1.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

단계 1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

단계 1.2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [7])$

단계 1.2.5

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 + 0)$

단계 1.2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 {(2 x + 7)}^{2} \cdot 2$

단계 1.2.6.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 {(2 x + 7)}^{2}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

${(2 x + 7)}^{2}$ 을 $(2 x + 7) (2 x + 7)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [6 ((2 x + 7) (2 x + 7))]$

단계 2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 x + 7) (2 x + 7)$ 를 전개합니다.

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단계 2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x + 7) + 7 (2 x + 7))]$

단계 2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x + 7))]$

단계 2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

단계 2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

단계 2.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

단계 2.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

단계 2.3.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

단계 2.3.1.4

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

단계 2.3.1.5

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 14 x + 7 \cdot 7)]$

단계 2.3.1.6

$7$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 14 x + 49)]$

단계 2.3.2

$14 x$ 를 $14 x$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 28 x + 49)]$

단계 2.4

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 (4 x^{2} + 28 x + 49)$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 28 x + 49]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 28 x + 49]$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} + 28 x + 49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49]$ 가 됩니다.

$6 (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

단계 2.6

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

단계 2.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

단계 2.8

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$6 (8 x + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

단계 2.9

$28$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $28 x$ 의 미분은 $28 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 (8 x + 28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49])$

단계 2.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (8 x + 28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49])$

단계 2.11

$28$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 (8 x + 28 + \frac{d}{d x} [49])$

단계 2.12

$49$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $49$ 입니다.

$6 (8 x + 28 + 0)$

단계 2.13

$8 x + 28$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 (8 x + 28)$

단계 2.14

간단히 합니다.

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단계 2.14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (8 x) + 6 \cdot 28$

단계 2.14.2

항을 묶습니다.

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단계 2.14.2.1

$8$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$48 x + 6 \cdot 28$

단계 2.14.2.2

$6$ 에 $28$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 48 x + 168$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $48 x + 168$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [168]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [168]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [48 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $48 x$ 의 미분은 $48 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [168]$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [168]$

단계 3.2.3

$48$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$48 + \frac{d}{d x} [168]$

단계 3.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$168$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $168$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $168$ 입니다.

$48 + 0$

단계 3.3.2

$48$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 48$

단계 4

$48$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $48$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $48$ 입니다.

$f^{4} (x) = 0$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $0$ 입니다.

$0$