미적분 예제

$f (x) = \frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 1}$

단계 1

$f (x) = 4 - 3 x - x^{2}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [4 - 3 x - x^{2}] - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 - 3 x - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.4

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.6

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - (2 x)) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.9

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.10

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.12

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.13

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.13.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - 2 (4 - 3 x - x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) + (- 2 \cdot 4 - 2 (- 3 x) - 2 (- x^{2})) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} - 1) (- 3 - 2 x)$ 를 전개합니다.

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단계 3.3.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} (- 3 - 2 x) - 1 (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 2 x) - 1 (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 2 x) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.2.1

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{2} x - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.2.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.2.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{1 + 2} - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.4

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 - 1 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.5

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.3

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x - 2 (- 3 (x \cdot x)) - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.5

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.6

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.6.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.6.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.1.7

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.2

$- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.3.2.1

$- 2 x^{3}$ 를 $2 x^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{- 3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2} + 0}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.2.2

$- 3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x + 6 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.3

$- 3 x^{2}$ 를 $6 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{2} + 3 + 2 x - 8 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3.4

$2 x$ 에서 $8 x$ 을 뺍니다.

$\frac{3 x^{2} + 3 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$3 x^{2} - 6 x + 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.1.1

$3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{2}) - 6 x + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.2

$- 6 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.3

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.4

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x) + 3 (1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.5

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 (1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.5.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 3.5.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.5.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 3.5.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.5.2.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.6

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

단계 3.6.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

단계 3.6.3

$(x + 1) (x - 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 3.7

${(x - 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 3.7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{{(x + 1)}^{2}}$