미적분 예제

$\tan (x y) = x - 1$ , $(1, 0)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = 0$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y)) = \frac{d}{d x} (x - 1)$

단계 1.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

단계 1.2.1.2

$\tan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u)$ 입니다.

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

단계 1.2.1.3

$u$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

단계 1.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

단계 1.2.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sec^{2} (x y) (x y' + y)$

단계 1.2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

단계 1.2.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$

단계 1.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.3.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.3.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) = 1$

단계 1.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.5.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) = 1$

단계 1.5.2

방정식의 양변에서 $y \sec^{2} (x y)$ 를 뺍니다.

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$

단계 1.5.3

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ 의 각 항을 $x \sec^{2} (x y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ 의 각 항을 $x \sec^{2} (x y)$ 로 나눕니다.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

단계 1.5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

단계 1.5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

단계 1.5.3.2.2

$\sec^{2} (x y)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

단계 1.5.3.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

단계 1.5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.1

$\sec^{2} (x y)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

단계 1.5.3.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y}{x}$

단계 1.5.3.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

단계 1.7

$y = 0$ 와 $x = 1$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot y)} - \frac{y}{1}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

단계 1.7.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{1 \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

단계 1.7.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

단계 1.7.3.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

단계 1.7.3.3

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))}$ 을 ${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2} - \frac{0}{1}$

단계 1.7.3.4

$\sec ((1) \cdot (0))$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}})}^{2} - \frac{0}{1}$

단계 1.7.3.5

$\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

${(1 \cos ((1) \cdot (0)))}^{2} - \frac{0}{1}$

단계 1.7.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.6.1

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(1 \cos (0))}^{2} - \frac{0}{1}$

단계 1.7.3.6.2

$\cos (0)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos^{2} (0) - \frac{0}{1}$

단계 1.7.3.7

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$1^{2} - \frac{0}{1}$

단계 1.7.3.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 - \frac{0}{1}$

단계 1.7.3.9

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 - 0$

단계 1.7.3.10

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$1 + 0$

단계 1.7.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $1$ 과 주어진 점 $(1, 0)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 1 \cdot (x - 1)$

단계 2.3.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = x - 1$

단계 3