미적분 예제

$lim_{t \to 25} \frac{25 - t}{5 - \sqrt{t}}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{t \to 25} 25 - t}{lim_{t \to 25} 5 - \sqrt{t}}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$t$ 가 $25$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{t \to 25} 25 - lim_{t \to 25} t}{lim_{t \to 25} 5 - \sqrt{t}}$

단계 1.1.2.2

$t$ 가 $25$ 에 가까워질 때 상수값 $25$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{25 - lim_{t \to 25} t}{lim_{t \to 25} 5 - \sqrt{t}}$

단계 1.1.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$t$ 에 $25$ 을 대입하여 $t$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{25 - 25}{lim_{t \to 25} 5 - \sqrt{t}}$

단계 1.1.2.3.2

$25$ 에서 $25$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{t \to 25} 5 - \sqrt{t}}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

$t$ 가 $25$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{t \to 25} 5 - lim_{t \to 25} \sqrt{t}}$

단계 1.1.3.1.2

$t$ 가 $25$ 에 가까워질 때 상수값 $5$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{5 - lim_{t \to 25} \sqrt{t}}$

단계 1.1.3.1.3

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{0}{5 - \sqrt{lim_{t \to 25} t}}$

단계 1.1.3.2

$t$ 에 $25$ 을 대입하여 $t$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{5 - \sqrt{25}}$

단계 1.1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{0}{5 - \sqrt{5^{2}}}$

단계 1.1.3.3.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

단계 1.1.3.3.1.3

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{5 - 5}$

단계 1.1.3.3.2

$5$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{t \to 25} \frac{25 - t}{5 - \sqrt{t}} = lim_{t \to 25} \frac{\frac{d}{d t} [25 - t]}{\frac{d}{d t} [5 - \sqrt{t}]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{t \to 25} \frac{\frac{d}{d t} [25 - t]}{\frac{d}{d t} [5 - \sqrt{t}]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $25 - t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t]$ 가 됩니다.

$lim_{t \to 25} \frac{\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [5 - \sqrt{t}]}$

단계 1.3.3

$25$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $25$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $25$ 입니다.

$lim_{t \to 25} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [5 - \sqrt{t}]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d t} [- t]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.4.1

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$lim_{t \to 25} \frac{0 - \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [5 - \sqrt{t}]}$

단계 1.3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{t \to 25} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d t} [5 - \sqrt{t}]}$

단계 1.3.4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to 25} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d t} [5 - \sqrt{t}]}$

단계 1.3.5

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [5 - \sqrt{t}]}$

단계 1.3.6

합의 법칙에 의해 $5 - \sqrt{t}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]$ 가 됩니다.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]}$

단계 1.3.7

$5$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]}$

단계 1.3.8

$\frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t}$ 을(를) $t^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]}$

단계 1.3.8.2

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}$

단계 1.3.8.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}$

단계 1.3.8.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

단계 1.3.8.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

단계 1.3.8.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

단계 1.3.8.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.8.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}$

단계 1.3.8.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}$

단계 1.3.8.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}$

단계 1.3.8.9

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

단계 1.3.8.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $t^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{0 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}$

단계 1.3.9

$0$ 에서 $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 을 뺍니다.

$lim_{t \to 25} \frac{- 1}{- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}$

단계 1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{t \to 25} - - (2 t^{\frac{1}{2}})$

단계 1.5

$t^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{t}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to 25} - - (2 \sqrt{t})$

단계 1.6

인수끼리 묶습니다.

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단계 1.6.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to 25} - (- 2 \sqrt{t})$

단계 1.6.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to 25} 2 \sqrt{t}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$2$ 항은 $t$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$2 lim_{t \to 25} \sqrt{t}$

단계 2.2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$2 \sqrt{lim_{t \to 25} t}$

단계 3

$t$ 에 $25$ 을 대입하여 $t$ 의 극한을 계산합니다.

$2 \sqrt{25}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \sqrt{5^{2}}$

단계 4.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$2 \cdot 5$

단계 4.3

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$10$