미적분 예제

$\int_{2}^{4} 6 x \ln (x) d x$

단계 1

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 \int_{2}^{4} x \ln (x) d x$

단계 2

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$6 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$6 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

단계 3.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

단계 3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

단계 3.4

$\frac{x^{2}}{2}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

단계 3.5

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

단계 3.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

단계 3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

단계 3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x}{2} d x)$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x d x))$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4})$

단계 6

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

단계 6.1.2

$\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

단계 6.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$4$ , $2$ 일 때, $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

단계 6.2.2

$4$ , $2$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$6 (\frac{\ln (4) \cdot 16}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.2

$\ln (4)$ 의 왼쪽으로 $16$ 이동하기

$6 (\frac{16 \cdot \ln (4)}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.3

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.3.1

$16 \ln (4)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 (1)} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 (\frac{8 \ln (4)}{1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.3.2.4

$8 \ln (4)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.5

$\ln (2)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$6 (8 \ln (4) - \frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.6

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.6.1

$4 \ln (2)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.6.2.4

$2 \ln (2)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 (8 \ln (4) - (2 \ln (2)) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.8

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.9

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.9.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.9.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.9.2.4

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

단계 6.2.3.10

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{4}{2}}{2})$

단계 6.2.3.11

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.11.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})$

단계 6.2.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.11.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}{2})$

단계 6.2.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}{2})$

단계 6.2.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2}{1}}{2})$

단계 6.2.3.11.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 1 \cdot 2}{2})$

단계 6.2.3.12

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 2}{2})$

단계 6.2.3.13

$8$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{6}{2})$

단계 6.2.3.14

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.14.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2})$

단계 6.2.3.14.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.14.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 (1)})$

단계 6.2.3.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1})$

단계 6.2.3.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{3}{1})$

단계 6.2.3.14.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 1 \cdot 3)$

단계 6.2.3.15

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 3)$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (8 \ln (4)) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$\ln (4)$ 을 $\ln (2^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$6 (8 \ln (2^{2})) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

단계 7.2.2

$2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (2^{2})$ 을 전개합니다.

$6 (8 (2 \ln (2))) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

단계 7.2.3

$- 2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) + 6 \cdot - 3$

단계 7.2.4

$6$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) - 18$

단계 7.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$6 (16 \ln (2)) - 12 \ln (2) - 18$

단계 7.3.2

$16$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$96 \ln (2) - 12 \ln (2) - 18$

단계 7.4

$96 \ln (2)$ 에서 $12 \ln (2)$ 을 뺍니다.

$84 \ln (2) - 18$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$84 \ln (2) - 18$

소수 형태:

$40.22436316 \dots$