미적분 예제

$\cos (x^{2}) = x e^{y}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) = \frac{d}{d x} (x e^{y})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (x^{2}) (2 x)$

단계 2.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (x^{2}) x$

단계 2.2.2.2

$- 2 \sin (x^{2}) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 x \sin (x^{2})$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{y}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x e^{y} y' + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{y} y' + e^{y} \cdot 1$

단계 3.5

$e^{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x e^{y} y' + e^{y}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- 2 x \sin (x^{2}) = x e^{y} y' + e^{y}$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x e^{y} y' + e^{y} = - 2 x \sin (x^{2})$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x e^{y} y' + e^{y} = - 2 x \sin (x^{2})$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$x e^{y} y' + e^{y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x y' e^{y} + e^{y} = - 2 x \sin (x^{2})$

단계 5.3

방정식의 양변에서 $e^{y}$ 를 뺍니다.

$x y' e^{y} = - 2 x \sin (x^{2}) - e^{y}$

단계 5.4

$x y' e^{y} = - 2 x \sin (x^{2}) - e^{y}$ 의 각 항을 $x e^{y}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$x y' e^{y} = - 2 x \sin (x^{2}) - e^{y}$ 의 각 항을 $x e^{y}$ 로 나눕니다.

$\frac{x y' e^{y}}{x e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y' e^{y}}{x e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

단계 5.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' e^{y}}{e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

단계 5.4.2.2

$e^{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' e^{y}}{e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

단계 5.4.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

단계 5.4.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- 2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

단계 5.4.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

단계 5.4.3.1.3

$e^{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

단계 5.4.3.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- 1}{x}$

단계 5.4.3.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} - \frac{1}{x}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} - \frac{1}{x}$