미적분 예제

$\int 20 t^{3} e^{- t^{4}} d t$

단계 1

$20$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $20$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$20 \int t^{3} e^{- t^{4}} d t$

단계 2

먼저 $u_{1} = t^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 t d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = t d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u_{1} = t^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$t^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 t$

단계 2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$20 \int u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 을 ${u_{1}}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$20 \int u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.1.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.1.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$20 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $u_{1}$ 을 묶습니다.

$20 \int \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 3.3

$\frac{u_{1}}{2}$ 와 $e^{- {u_{1}}^{2}}$ 을 묶습니다.

$20 \int \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$20 (\frac{1}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1})$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $20$ 을 묶습니다.

$\frac{20}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 5.2

$20$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$20$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 10}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 10}{2 (1)} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{10}{1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 5.2.2.4

$10$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$10 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 6

먼저 $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$- {u_{1}}^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

단계 6.1.2

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $- {u_{1}}^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

단계 6.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (2 u_{1})$

단계 6.1.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 u_{1}$

단계 6.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$10 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$10 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

단계 7.2

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$10 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

단계 8

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$10 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

단계 9

$- 1$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$- 10 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 10 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 10$ 을 묶습니다.

$\frac{- 10}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 11.2

$- 10$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$- 10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 5}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 11.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 11.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 11.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 5}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 11.2.2.4

$- 5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 5 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 12

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$- 5 (e^{u_{2}} + C)$

단계 13

간단히 합니다.

$- 5 e^{u_{2}} + C$

단계 14

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$u_{2}$ 를 모두 $- {u_{1}}^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 5 e^{- {u_{1}}^{2}} + C$

단계 14.2

$u_{1}$ 를 모두 $t^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 5 e^{- {(t^{2})}^{2}} + C$