미적분 예제

$f (x) = x \sqrt{2 x - 3}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 x - 3}$ 을(를) ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 2 x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x - 3$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $2 x - 3$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x (\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x (\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x (\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x (\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$x (\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x (\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$x (\frac{{(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$x (\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.4

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 3] + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 9

합의 법칙에 의해 $2 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 10

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 12

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 13

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 14

항을 간단히 합니다.

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단계 14.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 14.2

$\frac{x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{x \cdot 2}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 14.3

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 14.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 14.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 15

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

단계 16

${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

단계 17

공통 분모를 가지는 분수로 ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19

지수를 더하여 ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 19.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x + {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x + {(2 x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x + {(2 x - 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{x + {(2 x - 3)}^{1}}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20

${(2 x - 3)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{x + 2 x - 3}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21

$x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{3 x - 3}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$