미적분 예제

$y = \frac{7 x}{x - 1}$ , $(2, 14)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = 14$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{7 x}{x - 1}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$ 입니다.

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

단계 1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 \frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 \frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.3

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$7 \frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 \frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$7 \frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.6

항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$7 \frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 \frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.6.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$7 \frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.6.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.6.4.1

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$7 \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.6.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$7 (- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}})$

단계 1.3.6.4.3

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$- 7 \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.6.5

$- 7$ 와 $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 7}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.6.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{7}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.4

$x = 2$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- \frac{7}{{((2) - 1)}^{2}}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{7}{1^{2}}$

단계 1.5.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{7}{1}$

단계 1.5.2

식을 간단히 합니다.

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단계 1.5.2.1

$7$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 7$

단계 1.5.2.2

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$- 7$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- 7$ 과 주어진 점 $(2, 14)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (14) = - 7 \cdot (x - (2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 14 = - 7 \cdot (x - 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$- 7 \cdot (x - 2)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 14 = 0 + 0 - 7 \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 14 = - 7 \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 14 = - 7 x - 7 \cdot - 2$

단계 2.3.1.4

$- 7$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$y - 14 = - 7 x + 14$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $14$ 를 더합니다.

$y = - 7 x + 14 + 14$

단계 2.3.2.2

$14$ 를 $14$ 에 더합니다.

$y = - 7 x + 28$

단계 3