미적분 예제

$lim_{x \to 196} \frac{\sqrt{x} - 14}{x - 196}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 196} \sqrt{x} - 14}{lim_{x \to 196} x - 196}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

$x$ 가 $196$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 196} \sqrt{x} - lim_{x \to 196} 14}{lim_{x \to 196} x - 196}$

단계 1.1.2.1.2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 196} x} - lim_{x \to 196} 14}{lim_{x \to 196} x - 196}$

단계 1.1.2.1.3

$x$ 가 $196$ 에 가까워질 때 상수값 $14$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 196} x} - 1 \cdot 14}{lim_{x \to 196} x - 196}$

단계 1.1.2.2

$x$ 에 $196$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{196} - 1 \cdot 14}{lim_{x \to 196} x - 196}$

단계 1.1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.1

$196$ 을 $14^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{14^{2}} - 1 \cdot 14}{lim_{x \to 196} x - 196}$

단계 1.1.2.3.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{14 - 1 \cdot 14}{lim_{x \to 196} x - 196}$

단계 1.1.2.3.1.3

$- 1$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$\frac{14 - 14}{lim_{x \to 196} x - 196}$

단계 1.1.2.3.2

$14$ 에서 $14$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 196} x - 196}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

$x$ 가 $196$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 196} x - lim_{x \to 196} 196}$

단계 1.1.3.1.2

$x$ 가 $196$ 에 가까워질 때 상수값 $196$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 196} x - 1 \cdot 196}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $196$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{196 - 1 \cdot 196}$

단계 1.1.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.3.1

$- 1$ 에 $196$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{196 - 196}$

단계 1.1.3.3.2

$196$ 에서 $196$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\sqrt{x} - 14}{x - 196} = lim_{x \to 196} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 14]}{\frac{d}{d x} [x - 196]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 14]}{\frac{d}{d x} [x - 196]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $\sqrt{x} - 14$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 14]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [x - 196]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [x - 196]}$

단계 1.3.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [x - 196]}$

단계 1.3.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [x - 196]}$

단계 1.3.3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [x - 196]}$

단계 1.3.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [x - 196]}$

단계 1.3.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [x - 196]}$

단계 1.3.3.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [x - 196]}$

단계 1.3.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 14]}{\frac{d}{d x} [x - 196]}$

단계 1.3.4

$- 14$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 14$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 14$ 입니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 196]}$

단계 1.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 196]}$

단계 1.3.5.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 196]}$

단계 1.3.5.2.2

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 196]}$

단계 1.3.6

합의 법칙에 의해 $x - 196$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 196]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 196]}$

단계 1.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 196]}$

단계 1.3.8

$- 196$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 196$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 196$ 입니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

단계 1.3.9

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 196} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

단계 1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 196} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

단계 1.5

$x^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 196} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

단계 1.6

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 196} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

단계 2

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 196} \frac{1}{\sqrt{x}}$

단계 2.2

$x$ 가 $196$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 196} 1}{lim_{x \to 196} \sqrt{x}}$

단계 2.3

$x$ 가 $196$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 196} \sqrt{x}}$

단계 2.4

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 196} x}}$

단계 3

$x$ 에 $196$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{196}}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$196$ 을 $14^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{14^{2}}}$

단계 4.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{14}$

단계 4.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{14}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{14}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 14}$

단계 4.2.2

$2$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{28}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{28}$

소수 형태:

$0.03571428 \dots$