미적분 예제

$3 x^{2} - 12 x - 8$

단계 1

$3 x^{2} - 12 x - 8$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 12 x - 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 2.2.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 2.3.3

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 8]$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$6 x - 12 + 0$

단계 2.4.2

$6 x - 12$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 x - 12$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $6 x - 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 3.2.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- 12)$

단계 3.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 12$ 입니다.

$f'' (x) = 6 + 0$

단계 3.3.2

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 6$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$6 x - 12 = 0$

단계 5

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 12 x - 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

단계 5.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

단계 5.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

단계 5.1.2.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

단계 5.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

단계 5.1.3.3

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (- 8)$

단계 5.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.1

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$f' (x) = 6 x - 12 + 0$

단계 5.1.4.2

$6 x - 12$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 6 x - 12$

단계 5.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $6 x - 12$ 입니다.

$6 x - 12$

단계 6

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $6 x - 12 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$6 x - 12 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에 $12$ 를 더합니다.

$6 x = 12$

단계 6.3

$6 x = 12$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$6 x = 12$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

단계 6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

단계 6.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{12}{6}$

단계 6.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$12$ 을 $6$ 로 나눕니다.

$x = 2$

단계 7

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 8

계산할 임계점.

$x = 2$

단계 9

$x = 2$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$6$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 2$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 2$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 2$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 - 8$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.2.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 - 8$

단계 11.2.1.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (2) = 12 - 12 \cdot 2 - 8$

단계 11.2.1.3

$- 12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (2) = 12 - 24 - 8$

단계 11.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$12$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f (2) = - 12 - 8$

단계 11.2.2.2

$- 12$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f (2) = - 20$

단계 11.2.3

최종 답은 $- 20$ 입니다.

$y = - 20$

단계 12

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$ 에 대한 극값입니다.

$(2, - 20)$ 은 극솟값임

단계 13