미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.2

$x^{2} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.1.7

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$- x^{2} + 1 = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- x^{2} = - 1$

단계 2.3.2

$- x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$- x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.3.2.2.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 1$

단계 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 2.3.4

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 2.3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 2.3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 2.3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $1, - 1$ 입니다.

$1, - 1$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.2.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = \frac{- 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.2.1.3

$- 4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

단계 5.2.2.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

단계 5.2.2.3

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2) = \frac{- 3}{25}$

단계 5.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 2) = - \frac{3}{25}$

단계 5.2.4

최종 답은 $- \frac{3}{25}$ 입니다.

$- \frac{3}{25}$

단계 5.3

$x = - 2$ 에서의 도함수는 $- \frac{3}{25}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 감소함

단계 6

$(- 1, 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 1}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = \frac{- 0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

단계 6.2.1.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = \frac{0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

단계 6.2.1.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (0) = \frac{1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

단계 6.2.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

단계 6.2.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

단계 6.2.3

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (0) = 1$

단계 6.2.4

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 6.3

$x = 0$ 에서의 도함수는 $1$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 1, 1)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- 1, 1)$ 에서 증가함

단계 7

$(1, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 1}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

단계 7.2.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (2) = \frac{- 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

단계 7.2.1.3

$- 4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (2) = \frac{- 3}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

단계 7.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

단계 7.2.2.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

단계 7.2.2.3

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2) = \frac{- 3}{25}$

단계 7.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (2) = - \frac{3}{25}$

단계 7.2.4

최종 답은 $- \frac{3}{25}$ 입니다.

$- \frac{3}{25}$

단계 7.3

$x = 2$ 에서의 도함수는 $- \frac{3}{25}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(1, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(1, \infty)$ 에서 감소함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- 1, 1)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

단계 9