미적분 예제

$\int x^{2} e^{2 x} d x$

단계 1

$u = x^{2}$ 이고 $d v = e^{2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

단계 2.2

$x^{2}$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

단계 3

$\frac{1}{2} \cdot 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2} \cdot 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x)$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

단계 4.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

단계 4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x)$

단계 4.3

$\int e^{2 x} (x) d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x$

단계 5

$u = x$ 이고 $d v = e^{2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

단계 6.2

$x$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

단계 6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

단계 8

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 8.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 8.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 8.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 8.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

단계 9

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

단계 11.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

단계 12

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ 을 $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

단계 13.2

간단히 합니다.

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단계 13.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

단계 13.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

단계 13.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

단계 13.2.4

$\frac{x}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

단계 13.2.5

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

단계 13.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 13.2.7

$- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

단계 13.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

단계 13.2.9

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

단계 14

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

단계 15.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 15.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

단계 15.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

단계 15.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

단계 15.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 15.3.1

$- \frac{e^{2 x}}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

단계 15.3.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

단계 15.3.3

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

단계 15.3.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

단계 15.3.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + C$

단계 15.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 15.4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

단계 15.4.2

$- - \frac{e^{2 x}}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 15.4.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

단계 15.4.2.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

단계 15.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- x e^{2 x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

단계 15.6

$- x e^{2 x}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

단계 15.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

단계 15.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 15.8.1

$- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 15.8.1.1

$- x e^{2 x} \cdot 2$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

단계 15.8.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + C$

단계 15.8.1.3

$e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ 에서 $e^{2 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

단계 15.8.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + C$

단계 15.9

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + C$

단계 15.10

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

단계 15.11

$- (2 x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

단계 15.12

$- (2 x - 1)$ 을 $- 1 (2 x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

단계 15.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + C$

단계 16

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + C$