미적분 예제

$2 x \cos (x^{2})$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x \cos (x^{2})$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = \cos (x^{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$2 (x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (x^{1} x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (x^{1} x^{1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

단계 10

$\cos (x^{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

단계 11.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$