미적분 예제

$x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (8)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2} y$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 입니다.

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 2.2.5

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} y'$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) + 3 y^{2} y'$

단계 2.4.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 y x + 3 y^{2} y'$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y'$

단계 3

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

방정식의 양변에서 $3 x^{2}$ 를 뺍니다.

$3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

단계 5.1.2

방정식의 양변에서 $6 x y$ 를 뺍니다.

$3 x^{2} y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

단계 5.2

$3 x^{2} y' + 3 y^{2} y'$ 에서 $3 y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$3 x^{2} y'$ 에서 $3 y'$ 를 인수분해합니다.

$3 y' x^{2} + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

단계 5.2.2

$3 y^{2} y'$ 에서 $3 y'$ 를 인수분해합니다.

$3 y' x^{2} + 3 y' y^{2} = - 3 x^{2} - 6 x y$

단계 5.2.3

$3 y' x^{2} + 3 y' y^{2}$ 에서 $3 y'$ 를 인수분해합니다.

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$

단계 5.3

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ 의 각 항을 $3 (x^{2} + y^{2})$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ 의 각 항을 $3 (x^{2} + y^{2})$ 로 나눕니다.

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 5.3.2.2

$x^{2} + y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 5.3.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

$- 3$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 5.3.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 5.3.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 5.3.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 5.3.3.1.3

$- 6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.3.1

$- 6 x y$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 5.3.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

단계 5.3.3.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

단계 5.3.3.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

단계 5.3.3.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

단계 5.3.3.2.2

$- x^{2} - 2 x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.2.1

$- x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- x) - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

단계 5.3.3.2.2.2

$- 2 x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

단계 5.3.3.2.2.3

$x (- x) + x (- 2 y)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- x - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

단계 5.3.3.2.3

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

단계 5.3.3.2.4

$- 2 y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

단계 5.3.3.2.5

$- (x) - (2 y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{x (- (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

단계 5.3.3.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.6.1

$- (x + 2 y)$ 을 $- 1 (x + 2 y)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

단계 5.3.3.2.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$