미적분 예제

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

단계 1

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 4] - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 4] - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 4] - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.4

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.6

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.7

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + 0) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.8

$3 x^{2} - 6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) (2 x)}{x^{4}}$

단계 2.10

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 2.10.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

단계 2.10.2

$x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.10.2.1

$x^{2} (3 x^{2} - 6 x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x)) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

단계 2.10.2.2

$- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x)) + x (- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x^{4}}$

단계 2.10.2.3

$x (x (3 x^{2} - 6 x)) + x (- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x^{4}}$

단계 3

공약수로 약분합니다.

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단계 3.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x \cdot x^{3}}$

단계 3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x \cdot x^{3}}$

단계 3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{x^{3}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{x^{3}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

단계 4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

단계 4.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 (x^{2} x) + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

단계 4.3.1.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

단계 4.3.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

단계 4.3.1.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{3} + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

단계 4.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{3} - 6 x \cdot x - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

단계 4.3.1.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{3} - 6 (x \cdot x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

단계 4.3.1.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

단계 4.3.1.5

$- 3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

단계 4.3.1.6

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 8}{x^{3}}$

단계 4.3.2

$3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.3.2.1

$- 6 x^{2}$ 를 $6 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} + 0 - 8}{x^{3}}$

단계 4.3.2.2

$3 x^{3} - 2 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} - 8}{x^{3}}$

단계 4.3.3

$3 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{3} - 8}{x^{3}}$

단계 4.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{3} - 2^{3}}{x^{3}}$

단계 4.4.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3}}$

단계 4.4.3

간단히 합니다.

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단계 4.4.3.1

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}{x^{3}}$

단계 4.4.3.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{3}}$