미적분 예제

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 2.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 6.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 7

항을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{3}{2}$ 와 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 7.2

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 7.3

곱합니다.

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단계 7.3.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 7.3.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 7.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 7.5

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 8

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 10

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 0)$

단계 11

식을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

단계 11.2

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$

단계 11.3

$2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$