미적분 예제

$\frac{\sqrt{x} (x - 3)}{3}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 3)}{3}]$

단계 1.2

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 3)}{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 3)]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 3)]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.3

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.4.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.5

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3

항을 묶습니다.

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단계 11.3.1

$x$ 와 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.2

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 11.3.3.1

$x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 11.3.3.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.3.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.4

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.6

$- 3$ 와 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 11.3.8

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3}{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}$

단계 11.3.9

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3}{6 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.10

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3 (1)}{6 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.11

공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.11.1

$6 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3 (1)}{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}$

단계 11.3.11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3 \cdot 1}{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}$

단계 11.3.11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.12

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{6}{6} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.13

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} \cdot 6}{6} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.15

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{3} \cdot 6 + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.16

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{3}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 6}{3} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.17

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\frac{\frac{6 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{3} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.18

$6 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}{3} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.19

공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.19.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}{3 (1)} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.19.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 1} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.19.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.19.4

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.20

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.21

$3 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}})}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.22

공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.22.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.22.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.22.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$