미적분 예제

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 + 7 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 7 d x$ 이므로 $\frac{1}{7} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 + 7 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 + 7 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + 7 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [7 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 7 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 7$

단계 1.1.4

$0$ 를 $7$ 에 더합니다.

$7$

단계 1.2

$u = 1 + 7 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + 7 \cdot 0$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 1 + 0$

단계 1.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = 1 + 7 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 1 + 7$

단계 1.5.2

$1$ 를 $7$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 8$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

단계 2

$\sqrt[3]{u}$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

단계 3

$\frac{1}{7}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{7}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{7} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$8$ , $1$ 일 때, $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{7} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.4

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.5

$\frac{3}{4}$ 와 $16$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{7} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.6

$3$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.7

$48$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.7.1

$48$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.7.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{7} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.7.2.4

$12$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

단계 6.2.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4})$

단계 6.2.10

공통 분모를 가지는 분수로 $12$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

단계 6.2.11

$12$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{7} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

단계 6.2.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

단계 6.2.13

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.2.13.1

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{48 - 3}{4}$

단계 6.2.13.2

$48$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

단계 6.2.14

$\frac{1}{7}$ 에 $\frac{45}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{45}{7 \cdot 4}$

단계 6.2.15

$7$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{45}{28}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{45}{28}$

소수 형태:

$1.60714285 \dots$

대분수 형식:

$1 \frac{17}{28}$

단계 8