미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 25}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} - 25}$ 을(를) ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} - 25$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 25$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 25$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 1.7

분수를 통분합니다.

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단계 1.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 1.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 1.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 1.8

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

단계 1.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

단계 1.10

$- 25$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 25$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

단계 1.11

항을 간단히 합니다.

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단계 1.11.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

단계 1.11.2

$2$ 와 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} x$

단계 1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.2

${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.3

간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.4.2

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} - 25$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 25$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

단계 2.5.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

단계 2.5.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 25$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

단계 2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

단계 2.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

단계 2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

단계 2.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

단계 2.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

단계 2.10

분수를 통분합니다.

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단계 2.10.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

단계 2.10.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

단계 2.10.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

단계 2.10.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{x^{2} - 25}$

단계 2.11

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{x^{2} - 25}$

단계 2.12

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{x^{2} - 25}$

단계 2.13

$- 25$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 25$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} - 25}$

단계 2.14

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} - 25}$

단계 2.14.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} - 25}$

단계 2.14.3

$- 2$ 와 $\frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} - 25}$

단계 2.14.4

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.15

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.16

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.17

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.18

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.19

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.20

공약수로 약분합니다.

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단계 2.20.1

$2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} - 25}$

단계 2.20.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.20.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.21

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.22

공통 분모를 가지는 분수로 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.23

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.24

지수를 더하여 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.24.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.24.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.24.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.24.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 25) - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.25

${(x^{2} - 25)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 25 - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.26

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{0 - 25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.27

식을 간단히 합니다.

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단계 2.27.1

$0$ 에서 $25$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.27.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{- \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

단계 2.28

$\frac{- \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 25}$

단계 2.29

$\frac{1}{x^{2} - 25}$ 에 $\frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{25}{(x^{2} - 25) {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.30

지수를 더하여 $x^{2} - 25$ 에 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.30.1

$x^{2} - 25$ 에 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.30.1.1

$x^{2} - 25$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - \frac{25}{(x^{2} - 25) {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.30.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

단계 2.30.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

단계 2.30.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

단계 2.30.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} - 25}$ 을(를) ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} - 25$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 25$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 4.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 4.1.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 25$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 4.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 4.1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 4.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 4.1.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 4.1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 4.1.7

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 4.1.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 4.1.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

단계 4.1.8

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

단계 4.1.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

단계 4.1.10

$- 25$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 25$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

단계 4.1.11

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.11.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

단계 4.1.11.2

$2$ 와 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} x$

단계 4.1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.1.11.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.1.11.5

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 입니다.

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x = 0$

단계 5.3

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 이 참이 되지 않게 하는 해를 버립니다.

$해 없음$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{x}{\sqrt{{(x^{2} - 25)}^{1}}}$

단계 6.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}}$

단계 6.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$\sqrt{x^{2} - 25} = 0$

단계 6.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{x^{2} - 25}}^{2} = 0^{2}$

단계 6.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} - 25}$ 을(를) ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 6.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1

${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.1

${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 6.3.2.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 6.3.2.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(x^{2} - 25)}^{1} = 0^{2}$

단계 6.3.2.2.1.2

간단히 합니다.

$x^{2} - 25 = 0^{2}$

단계 6.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$x^{2} - 25 = 0$

단계 6.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

방정식의 양변에 $25$ 를 더합니다.

$x^{2} = 25$

단계 6.3.3.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{25}$

단계 6.3.3.3

$\pm \sqrt{25}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.3.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

단계 6.3.3.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 5$

단계 6.3.3.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 5$

단계 6.3.3.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 5$

단계 6.3.3.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 5, - 5$

단계 6.4

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\sqrt{x^{2} - 25}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 작게 설정해야 합니다.

$x^{2} - 25 < 0$

단계 6.5

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

부등식 양변에 $25$ 를 더합니다.

$x^{2} < 25$

단계 6.5.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 부등식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{25}$

단계 6.5.3

방정식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.3.1.1

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| x | < \sqrt{25}$

단계 6.5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.3.2.1

$\sqrt{25}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.3.2.1.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$| x | < \sqrt{5^{2}}$

단계 6.5.3.2.1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| x | < | 5 |$

단계 6.5.3.2.1.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $5$ 사이의 거리는 $5$ 입니다.

$| x | < 5$

단계 6.5.4

$| x | < 5$ 을(를) 구간으로 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.4.1

첫 번째 구간의 간격을 구하려면 절댓값의 내부가 음이 아닌 곳을 찾습니다.

$x \geq 0$

단계 6.5.4.2

$x$ 이(가) 음수가 아닌 부분에서 절댓값을 제거합니다.

$x < 5$

단계 6.5.4.3

두 번째 구간의 간격을 구하려면 절댓값의 내부가 음인 곳을 찾습니다.

$x < 0$

단계 6.5.4.4

$x$ 이(가) 음수인 부분에서 절댓값을 제거하고 $- 1$ 을(를) 곱합니다.

$- x < 5$

단계 6.5.4.5

구간으로 씁니다.

${\begin{cases} x < 5 & x \geq 0 \\ - x < 5 & x < 0 \end{cases}$

단계 6.5.5

$x < 5$ 와 $x \geq 0$ 의 교점을 구합니다.

$0 \leq x < 5$

단계 6.5.6

$x < 0$ 일 때 $- x < 5$ 를 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.6.1

$- x < 5$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.6.1.1

$- x < 5$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호의 방향을 바꿉니다.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{5}{- 1}$

단계 6.5.6.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.6.1.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} > \frac{5}{- 1}$

단계 6.5.6.1.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x > \frac{5}{- 1}$

단계 6.5.6.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.6.1.3.1

$5$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x > - 5$

단계 6.5.6.2

$x > - 5$ 와 $x < 0$ 의 교점을 구합니다.

$- 5 < x < 0$

단계 6.5.7

해의 합집합을 구합니다.

$- 5 < x < 5$

단계 6.6

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$- 5 \leq x \leq 5$

$[- 5, 5]$

$- 5 \leq x \leq 5$

$[- 5, 5]$

단계 7

계산할 임계점.

$x = - 5, 5$

단계 8

$x = - 5$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \frac{25}{{({(- 5)}^{2} - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$- 5$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{25}{{(25 - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.2

$25$ 에서 $25$ 을 뺍니다.

$- \frac{25}{0^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.3

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{25}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{25}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

단계 9.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{25}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

단계 9.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{25}{0^{3}}$

단계 9.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{25}{0}$

단계 9.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 10

1차 도함수 판정에 실패했으므로 극값이 없습니다.

극값 없음

단계 11