미적분 예제

$f (x) = 2 x - \frac{5}{x}$ on $5$ , $7$

단계 1

임계점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $2 x - \frac{5}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

단계 1.1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

단계 1.1.1.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

단계 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{5}{x}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$2 - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 1.1.1.3.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 1.1.1.3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 - 5 (- x^{- 2})$

단계 1.1.1.3.4

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$2 + 5 x^{- 2}$

단계 1.1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2 + 5 \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.1.1.4.2

$5$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$2 + \frac{5}{x^{2}}$

단계 1.1.1.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{5}{x^{2}} + 2$

단계 1.1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{5}{x^{2}} + 2$ 입니다.

$\frac{5}{x^{2}} + 2$

단계 1.2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$\frac{5}{x^{2}} = - 2$

단계 1.2.3

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x^{2}, 1$

단계 1.2.3.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$x^{2}$

단계 1.2.4

$\frac{5}{x^{2}} = - 2$ 의 각 항에 $x^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$\frac{5}{x^{2}} = - 2$ 의 각 항에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

단계 1.2.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

단계 1.2.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$5 = - 2 x^{2}$

단계 1.2.5

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$- 2 x^{2} = 5$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 2 x^{2} = 5$

단계 1.2.5.2

$- 2 x^{2} = 5$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

$- 2 x^{2} = 5$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

단계 1.2.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

단계 1.2.5.2.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{5}{- 2}$

단계 1.2.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{2} = - \frac{5}{2}$

단계 1.2.5.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$

단계 1.2.5.4

$\pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.4.1

$- 1$ 을 $i^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{5}{2}}$

단계 1.2.5.4.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \sqrt{\frac{5}{2}}$

단계 1.2.5.4.3

$\sqrt{\frac{5}{2}}$ 을 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

단계 1.2.5.4.4

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm i (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

단계 1.2.5.4.5

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.4.5.1

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

단계 1.2.5.4.5.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

단계 1.2.5.4.5.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

단계 1.2.5.4.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

단계 1.2.5.4.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

단계 1.2.5.4.5.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.4.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 1.2.5.4.5.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 1.2.5.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.2.5.4.5.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.4.5.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.2.5.4.5.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

단계 1.2.5.4.5.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

단계 1.2.5.4.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.4.6.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

단계 1.2.5.4.6.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{2}$

단계 1.2.5.4.7

$i$ 와 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{2}$

단계 1.2.5.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}$

단계 1.2.5.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

단계 1.2.5.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}, - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

단계 1.3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{5}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 1.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 1.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 1.3.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 1.3.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 1.4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $2 x - \frac{5}{x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$2 (0) - \frac{5}{0}$

단계 1.4.1.2

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 1.5

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 2

포함된 끝점에서 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = 5$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x$ 에 $5$ 를 대입합니다.

$2 (5) - \frac{5}{5}$

단계 2.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$10 - \frac{5}{5}$

단계 2.1.2.1.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$10 - \frac{5}{5}$

단계 2.1.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$10 - 1 \cdot 1$

단계 2.1.2.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$10 - 1$

단계 2.1.2.2

$10$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$9$

단계 2.2

$x = 7$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x$ 에 $7$ 를 대입합니다.

$2 (7) - \frac{5}{7}$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$14 - \frac{5}{7}$

단계 2.2.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $14$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$14 \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7}$

단계 2.2.2.3

$14$ 와 $\frac{7}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{14 \cdot 7}{7} - \frac{5}{7}$

단계 2.2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{14 \cdot 7 - 5}{7}$

단계 2.2.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.5.1

$14$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{98 - 5}{7}$

단계 2.2.2.5.2

$98$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{93}{7}$

단계 2.3

모든 점을 나열합니다.

$(5, 9), (7, \frac{93}{7})$

단계 3

주어진 구간에서 절대 최댓값과 최솟값을 결정하기 위하여 각 $x$ 값에 대해 구한 $f (x)$ 값을 비교합니다. 가장 큰 $f (x)$ 값에서 최댓값이 발생하고 가장 작은 $f (x)$ 값에서 최솟값이 발생합니다.

절댓값 최대: $(7, \frac{93}{7})$

절댓값 최소: $(5, 9)$

단계 4