미적분 예제

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ , $[- 3, 1]$

단계 1

임계점을 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.1.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.1.3.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.1.3.2

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.1.3.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{\frac{x}{2}}$ 을 묶습니다.

$x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.1.3.2.2

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.1.3.4

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$

단계 1.1.1.3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.3.6.1

$e^{\frac{x}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

단계 1.1.1.3.6.2

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

단계 1.1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ 입니다.

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

단계 1.2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$

단계 1.2.2

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ 에서 $e^{\frac{x}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.2.1

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 에서 $e^{\frac{x}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} = 0$

단계 1.2.2.2

$1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

단계 1.2.2.3

$e^{\frac{x}{2}} \frac{x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$ 에서 $e^{\frac{x}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

단계 1.2.4

$e^{\frac{x}{2}}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.2.4.1

$e^{\frac{x}{2}}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

단계 1.2.4.2

$e^{\frac{x}{2}} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{\frac{x}{2}}) = \ln (0)$

단계 1.2.4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 1.2.4.2.3

$e^{\frac{x}{2}} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 1.2.5

$\frac{x}{2} + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.2.5.1

$\frac{x}{2} + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

단계 1.2.5.2

$\frac{x}{2} + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.5.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\frac{x}{2} = - 1$

단계 1.2.5.2.2

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

단계 1.2.5.2.3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

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단계 1.2.5.2.3.1

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.5.2.3.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.5.2.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

단계 1.2.5.2.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x = 2 \cdot - 1$

단계 1.2.5.2.3.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.5.2.3.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = - 2$

단계 1.2.6

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2$

단계 1.3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 1.4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $x e^{\frac{x}{2}}$ 을 구합니다.

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단계 1.4.1

$x = - 2$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 1.4.1.1

$x$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$(- 2) \cdot e^{\frac{- 2}{2}}$

단계 1.4.1.2

간단히 합니다.

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단계 1.4.1.2.1

$- 2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$- 2 \cdot e^{- 1}$

단계 1.4.1.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 \cdot \frac{1}{e}$

단계 1.4.1.2.3

$- 2$ 와 $\frac{1}{e}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{e}$

단계 1.4.1.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{e}$

단계 1.4.2

모든 점을 나열합니다.

$(- 2, - \frac{2}{e})$

단계 2

포함된 끝점에서 구합니다.

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단계 2.1

$x = - 3$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 2.1.1

$x$ 에 $- 3$ 를 대입합니다.

$(- 3) \cdot e^{\frac{- 3}{2}}$

단계 2.1.2

간단히 합니다.

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단계 2.1.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 3 \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

단계 2.1.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 3 \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.1.2.3

$- 3$ 와 $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{e^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.1.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.2

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$(1) \cdot e^{\frac{1}{2}}$

단계 2.2.2

$e^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{1}{2}}$

단계 2.3

모든 점을 나열합니다.

$(- 3, - \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}), (1, e^{\frac{1}{2}})$

단계 3

주어진 구간에서 절대 최댓값과 최솟값을 결정하기 위하여 각 $x$ 값에 대해 구한 $f (x)$ 값을 비교합니다. 가장 큰 $f (x)$ 값에서 최댓값이 발생하고 가장 작은 $f (x)$ 값에서 최솟값이 발생합니다.

절댓값 최대: $(1, e^{\frac{1}{2}})$

절댓값 최소: $(- 2, - \frac{2}{e})$

단계 4