미적분 예제

주어진 구간의 절대 최대값 및 최소값 구하기 f(x)=3x^4+4x^3-12x^2+5
단계 1
함수의 1차 도함수를 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.1
합의 법칙에 의해 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 1.2
의 값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.2.1
에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 1.2.2
일 때 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.2.3
을 곱합니다.
단계 1.3
의 값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.3.1
에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 1.3.2
일 때 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.3.3
을 곱합니다.
단계 1.4
의 값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.1
에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 1.4.2
일 때 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.4.3
을 곱합니다.
단계 1.5
상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.5.1
에 대해 일정하므로, 에 대해 미분하면 입니다.
단계 1.5.2
에 더합니다.
단계 2
함수의 2차 도함수를 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 2.1
합의 법칙에 의해 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 2.2
의 값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 2.2.1
에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 2.2.2
일 때 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.2.3
을 곱합니다.
단계 2.3
의 값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 2.3.1
에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 2.3.2
일 때 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.3.3
을 곱합니다.
단계 2.4
의 값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 2.4.1
에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 2.4.2
일 때 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.4.3
을 곱합니다.
단계 3
함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 으로 두고 식을 풉니다.
단계 4
1차 도함수를 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.1
1차 도함수를 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.1.1
합의 법칙에 의해 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 4.1.2
의 값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.1.2.1
에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 4.1.2.2
일 때 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.1.2.3
을 곱합니다.
단계 4.1.3
의 값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.1.3.1
에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 4.1.3.2
일 때 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.1.3.3
을 곱합니다.
단계 4.1.4
의 값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.1.4.1
에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 4.1.4.2
일 때 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.1.4.3
을 곱합니다.
단계 4.1.5
상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.1.5.1
에 대해 일정하므로, 에 대해 미분하면 입니다.
단계 4.1.5.2
에 더합니다.
단계 4.2
에 대한 1차 도함수는 입니다.
단계 5
1차 도함수가 이 되도록 한 뒤 방정식 을 풉니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.1
1차 도함수가 이 되게 합니다.
단계 5.2
방정식의 좌변을 인수분해합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.2.1
에서 를 인수분해합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.2.1.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 5.2.1.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 5.2.1.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 5.2.1.4
에서 를 인수분해합니다.
단계 5.2.1.5
에서 를 인수분해합니다.
단계 5.2.2
인수분해합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.2.2.1
AC 방법을 이용하여 를 인수분해합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.2.2.1.1
형태를 이용합니다. 곱이 이고 합이 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 이고 합은 입니다.
단계 5.2.2.1.2
이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.
단계 5.2.2.2
불필요한 괄호를 제거합니다.
단계 5.3
방정식 좌변의 한 인수가 이면 전체 식은 이 됩니다.
단계 5.4
와 같다고 둡니다.
단계 5.5
가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.5.1
와 같다고 둡니다.
단계 5.5.2
방정식의 양변에 를 더합니다.
단계 5.6
가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.6.1
와 같다고 둡니다.
단계 5.6.2
방정식의 양변에서 를 뺍니다.
단계 5.7
을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.
단계 6
도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 6.1
식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.
단계 7
계산할 임계점.
단계 8
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
단계 9
이차 미분값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 9.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 9.1.1
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 9.1.2
을 곱합니다.
단계 9.1.3
을 곱합니다.
단계 9.2
더하고 빼서 식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 9.2.1
에 더합니다.
단계 9.2.2
에서 을 뺍니다.
단계 10
이계도함수가 음수이므로 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극대값입니다
단계 11
일 때 y값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 11.1
수식에서 변수 을 대입합니다.
단계 11.2
결과를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 11.2.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 11.2.1.1
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 11.2.1.2
을 곱합니다.
단계 11.2.1.3
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 11.2.1.4
을 곱합니다.
단계 11.2.1.5
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 11.2.1.6
을 곱합니다.
단계 11.2.2
숫자를 더해 식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 11.2.2.1
에 더합니다.
단계 11.2.2.2
에 더합니다.
단계 11.2.2.3
에 더합니다.
단계 11.2.3
최종 답은 입니다.
단계 12
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
단계 13
이차 미분값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 13.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 13.1.1
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
단계 13.1.2
을 곱합니다.
단계 13.1.3
을 곱합니다.
단계 13.2
더하고 빼서 식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 13.2.1
에 더합니다.
단계 13.2.2
에서 을 뺍니다.
단계 14
이계도함수가 양수이므로 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극소값입니다.
단계 15
일 때 y값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 15.1
수식에서 변수 을 대입합니다.
단계 15.2
결과를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 15.2.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 15.2.1.1
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
단계 15.2.1.2
을 곱합니다.
단계 15.2.1.3
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
단계 15.2.1.4
을 곱합니다.
단계 15.2.1.5
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
단계 15.2.1.6
을 곱합니다.
단계 15.2.2
더하고 빼서 식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 15.2.2.1
에 더합니다.
단계 15.2.2.2
에서 을 뺍니다.
단계 15.2.2.3
에 더합니다.
단계 15.2.3
최종 답은 입니다.
단계 16
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
단계 17
이차 미분값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 17.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 17.1.1
승 합니다.
단계 17.1.2
을 곱합니다.
단계 17.1.3
을 곱합니다.
단계 17.2
숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 17.2.1
에서 을 뺍니다.
단계 17.2.2
에서 을 뺍니다.
단계 18
이계도함수가 양수이므로 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극소값입니다.
단계 19
일 때 y값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 19.1
수식에서 변수 을 대입합니다.
단계 19.2
결과를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 19.2.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 19.2.1.1
승 합니다.
단계 19.2.1.2
을 곱합니다.
단계 19.2.1.3
승 합니다.
단계 19.2.1.4
을 곱합니다.
단계 19.2.1.5
승 합니다.
단계 19.2.1.6
을 곱합니다.
단계 19.2.2
더하고 빼서 식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 19.2.2.1
에서 을 뺍니다.
단계 19.2.2.2
에서 을 뺍니다.
단계 19.2.2.3
에 더합니다.
단계 19.2.3
최종 답은 입니다.
단계 20
에 대한 극값입니다.
은 극댓값임
은 극솟값임
은 극솟값임
단계 21