미적분 예제

$f (x) = - \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 4$ ; $(- 1, - \frac{3}{2})$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = - 1$ , $y = - \frac{3}{2}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$- \frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3}{2} x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.2.4

$- 2$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.2.5

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.2.6

$\frac{- 6}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.2.7

$- 6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.7.1

$- 6 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.2.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.7.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.2.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.2.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.2.7.2.4

$- 3 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 3 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 3 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.3.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$- 3 x + 4 + 0$

단계 1.4.2

$- 3 x + 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 3 x + 4$

단계 1.5

$x = - 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- 3 \cdot - 1 + 4$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 + 4$

단계 1.6.2

$3$ 를 $4$ 에 더합니다.

$7$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $7$ 과 주어진 점 $(- 1, - \frac{3}{2})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (- \frac{3}{2}) = 7 \cdot (x - (- 1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + \frac{3}{2} = 7 \cdot (x + 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$7 \cdot (x + 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y + \frac{3}{2} = 0 + 0 + 7 \cdot (x + 1)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y + \frac{3}{2} = 7 \cdot (x + 1)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y + \frac{3}{2} = 7 x + 7 \cdot 1$

단계 2.3.1.4

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + \frac{3}{2} = 7 x + 7$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에서 $\frac{3}{2}$ 를 뺍니다.

$y = 7 x + 7 - \frac{3}{2}$

단계 2.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $7$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = 7 x + 7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

단계 2.3.2.3

$7$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = 7 x + \frac{7 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

단계 2.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = 7 x + \frac{7 \cdot 2 - 3}{2}$

단계 2.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.5.1

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = 7 x + \frac{14 - 3}{2}$

단계 2.3.2.5.2

$14$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$y = 7 x + \frac{11}{2}$

단계 3