미적분 예제

$y = - \frac{1}{3 x^{3}}$ , $(- 2, \frac{1}{24})$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = - 2$ , $y = \frac{1}{24}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$- \frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{3 x^{3}}$ 의 미분은 $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 입니다.

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

단계 1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

단계 1.2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

단계 1.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

단계 1.3

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3} (- 3 x^{- 4})$

단계 1.4

항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.1

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3}) x^{- 4}$

단계 1.4.2

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3} x^{- 4}$

단계 1.4.3

$\frac{3}{3}$ 와 $x^{- 4}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{- 4}}{3}$

단계 1.4.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{3}{3 x^{4}}$

단계 1.4.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{3 x^{4}}$

단계 1.4.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{4}}$

단계 1.5

$x = - 2$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{1}{{(- 2)}^{4}}$

단계 1.6

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{16}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{1}{16}$ 과 주어진 점 $(- 2, \frac{1}{24})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (\frac{1}{24}) = \frac{1}{16} \cdot (x - (- 2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - \frac{1}{24} = \frac{1}{16} \cdot (x + 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$\frac{1}{16} \cdot (x + 2)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - \frac{1}{24} = 0 + 0 + \frac{1}{16} \cdot (x + 2)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - \frac{1}{24} = \frac{1}{16} \cdot (x + 2)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \frac{1}{24} = \frac{1}{16} x + \frac{1}{16} \cdot 2$

단계 2.3.1.4

$\frac{1}{16}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - \frac{1}{24} = \frac{x}{16} + \frac{1}{16} \cdot 2$

단계 2.3.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.1.5.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y - \frac{1}{24} = \frac{x}{16} + \frac{1}{2 (8)} \cdot 2$

단계 2.3.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$y - \frac{1}{24} = \frac{x}{16} + \frac{1}{2 \cdot 8} \cdot 2$

단계 2.3.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$y - \frac{1}{24} = \frac{x}{16} + \frac{1}{8}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $\frac{1}{24}$ 를 더합니다.

$y = \frac{x}{16} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24}$

단계 2.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{8}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x}{16} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{24}$

단계 2.3.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $24$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.2.3.1

$\frac{1}{8}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x}{16} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{1}{24}$

단계 2.3.2.3.2

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x}{16} + \frac{3}{24} + \frac{1}{24}$

단계 2.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{x}{16} + \frac{3 + 1}{24}$

단계 2.3.2.5

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \frac{x}{16} + \frac{4}{24}$

단계 2.3.2.6

$4$ 및 $24$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.6.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x}{16} + \frac{4 (1)}{24}$

단계 2.3.2.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.6.2.1

$24$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x}{16} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

단계 2.3.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x}{16} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

단계 2.3.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{x}{16} + \frac{1}{6}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{1}{16} x + \frac{1}{6}$

단계 3