미적분 예제

$y = x^{\sin (x)}$ , $x = 1$

단계 1

$x = 1$ 에 상당하는 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = {(1)}^{\sin (1)}$

단계 1.2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 1^{\sin (1)}$

단계 1.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = {(1)}^{\sin (1)}$

단계 1.2.3

${(1)}^{\sin (1)}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$\sin (1)$ 의 값을 구합니다.

$y = 1^{0.0174524}$

단계 1.2.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = 1$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 2.1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

$x^{\sin (x)}$ 을 $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

단계 2.1.2

$\sin (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{\sin (x)})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

단계 2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x) \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

단계 2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $\sin (x) \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

단계 2.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.5

$\sin (x)$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 2.6

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

단계 2.7

간단히 합니다.

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단계 2.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

단계 2.7.2

$e^{\sin (x) \ln (x)}$ 와 $\frac{\sin (x)}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

단계 2.7.3

항을 다시 정렬합니다.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

단계 2.8

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$e^{\sin (1) \ln (1)} \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

단계 2.9

간단히 합니다.

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단계 2.9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.9.1.1

$\sin (1)$ 의 값을 구합니다.

$e^{0.0174524 \ln (1)} \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

단계 2.9.1.2

$0.0174524$ 를 로그 안으로 옮겨 $0.0174524 \ln (1)$ 을 간단히 합니다.

$e^{\ln (1^{0.0174524})} \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

단계 2.9.1.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$1^{0.0174524} \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

단계 2.9.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

단계 2.9.1.5

$\cos (1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

단계 2.9.1.6

$\cos (1)$ 의 값을 구합니다.

$0.99984769 \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

단계 2.9.1.7

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$0.99984769 \cdot 0 + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

단계 2.9.1.8

$0.99984769$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

단계 2.9.1.9

$e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0 + e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)$

단계 2.9.1.10

$\sin (1)$ 의 값을 구합니다.

$0 + e^{0.0174524 \ln (1)} \sin (1)$

단계 2.9.1.11

$0.0174524$ 를 로그 안으로 옮겨 $0.0174524 \ln (1)$ 을 간단히 합니다.

$0 + e^{\ln (1^{0.0174524})} \sin (1)$

단계 2.9.1.12

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$0 + 1^{0.0174524} \sin (1)$

단계 2.9.1.13

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$0 + 1 \sin (1)$

단계 2.9.1.14

$\sin (1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + \sin (1)$

단계 2.9.1.15

$\sin (1)$ 의 값을 구합니다.

$0 + 0.0174524$

단계 2.9.2

$0$ 를 $0.0174524$ 에 더합니다.

$0.0174524$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

기울기 $0.0174524$ 과 주어진 점 $(1, 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (1) = 0.0174524 \cdot (x - (1))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 1 = 0.0174524 \cdot (x - 1)$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$0.0174524 \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 1 = 0 + 0 + 0.0174524 \cdot (x - 1)$

단계 3.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 1 = 0.0174524 \cdot (x - 1)$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 1 = 0.0174524 x + 0.0174524 \cdot - 1$

단계 3.3.1.4

$0.0174524$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 1 = 0.0174524 x - 0.0174524$

단계 3.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 3.3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = 0.0174524 x - 0.0174524 + 1$

단계 3.3.2.2

$- 0.0174524$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = 0.0174524 x + 0.98254759$

단계 4