미적분 예제

$y = \frac{x^{2}}{5 + x}$ , $(1, \frac{1}{6})$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = \frac{1}{6}$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 5 + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

단계 1.2.2

$5 + x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (5 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [5 + x]}{{(5 + x)}^{2}}$

단계 1.2.3

합의 법칙에 의해 $5 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (5 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x])}{{(5 + x)}^{2}}$

단계 1.2.4

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\frac{2 (5 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(5 + x)}^{2}}$

단계 1.2.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x]$ 에 더합니다.

$\frac{2 (5 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(5 + x)}^{2}}$

단계 1.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (5 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(5 + x)}^{2}}$

단계 1.2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (5 + x) x - x^{2}}{{(5 + x)}^{2}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 \cdot 5 + 2 x) x - x^{2}}{{(5 + x)}^{2}}$

단계 1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 5 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(5 + x)}^{2}}$

단계 1.3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1.1

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{10 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(5 + x)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{10 x + 2 (x \cdot x) - x^{2}}{{(5 + x)}^{2}}$

단계 1.3.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{10 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(5 + x)}^{2}}$

단계 1.3.3.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{10 x + x^{2}}{{(5 + x)}^{2}}$

단계 1.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} + 10 x}{{(x + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5

$x^{2} + 10 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.3.5.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x + 10 x}{{(x + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5.2

$10 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 10}{{(x + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5.3

$x \cdot x + x \cdot 10$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x + 10)}{{(x + 5)}^{2}}$

단계 1.4

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{(1) ((1) + 10)}{{((1) + 5)}^{2}}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$1 + 10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + 10}{{(1 + 5)}^{2}}$

단계 1.5.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.5.2.1

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{1 + 10}{6^{2}}$

단계 1.5.2.2

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1 + 10}{36}$

단계 1.5.3

$1$ 를 $10$ 에 더합니다.

$\frac{11}{36}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{11}{36}$ 과 주어진 점 $(1, \frac{1}{6})$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (\frac{1}{6}) = \frac{11}{36} \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - \frac{1}{6} = \frac{11}{36} \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$\frac{11}{36} \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 + \frac{11}{36} \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - \frac{1}{6} = \frac{11}{36} \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - \frac{1}{6} = \frac{11}{36} x + \frac{11}{36} \cdot - 1$

단계 2.3.1.4

$\frac{11}{36}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y - \frac{1}{6} = \frac{11 x}{36} + \frac{11}{36} \cdot - 1$

단계 2.3.1.5

$\frac{11}{36} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1.5.1

$\frac{11}{36}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y - \frac{1}{6} = \frac{11 x}{36} + \frac{11 \cdot - 1}{36}$

단계 2.3.1.5.2

$11$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - \frac{1}{6} = \frac{11 x}{36} + \frac{- 11}{36}$

단계 2.3.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y - \frac{1}{6} = \frac{11 x}{36} - \frac{11}{36}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $\frac{1}{6}$ 를 더합니다.

$y = \frac{11 x}{36} - \frac{11}{36} + \frac{1}{6}$

단계 2.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{6}$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{11 x}{36} - \frac{11}{36} + \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

단계 2.3.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $36$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.2.3.1

$\frac{1}{6}$ 에 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{11 x}{36} - \frac{11}{36} + \frac{6}{6 \cdot 6}$

단계 2.3.2.3.2

$6$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$y = \frac{11 x}{36} - \frac{11}{36} + \frac{6}{36}$

단계 2.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{11 x}{36} + \frac{- 11 + 6}{36}$

단계 2.3.2.5

$- 11$ 를 $6$ 에 더합니다.

$y = \frac{11 x}{36} + \frac{- 5}{36}$

단계 2.3.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{11 x}{36} - \frac{5}{36}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{11}{36} x - \frac{5}{36}$

단계 3