미적분 예제

${(x - y - 1)}^{3} = x$ ; $(1, - 1)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = - 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} ({(x - y - 1)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 1.2.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x - y - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - y - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

단계 1.2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

단계 1.2.1.3

$u$ 를 모두 $x - y - 1$ 로 바꿉니다.

$3 {(x - y - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

단계 1.2.2

미분합니다.

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단계 1.2.2.1

합의 법칙에 의해 $x - y - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$3 {(x - y - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.2.2.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y' + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.2.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y' + 0)$

단계 1.2.5

$1 - y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y')$

단계 1.2.6

간단히 합니다.

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단계 1.2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x - y - 1)}^{2} (- y')$

단계 1.2.6.2

항을 묶습니다.

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단계 1.2.6.2.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {(x - y - 1)}^{2} + 3 {(x - y - 1)}^{2} (- y')$

단계 1.2.6.2.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y'$

단계 1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y' = 1$

단계 1.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.5.1

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1$

단계 1.5.2

방정식의 양변에서 $3 {(x - y - 1)}^{2}$ 를 뺍니다.

$- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$

단계 1.5.3

$- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$ 의 각 항을 $- 3 {(x - y - 1)}^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.5.3.1

$- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$ 의 각 항을 $- 3 {(x - y - 1)}^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 y' {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

단계 1.5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.3.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 y' {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

단계 1.5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' {(x - y - 1)}^{2}}{{(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

단계 1.5.3.2.2

${(x - y - 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' {(x - y - 1)}^{2}}{{(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

단계 1.5.3.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

단계 1.5.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.5.3.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{- 1}{- 1}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

단계 1.5.3.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{- 1}{- 1}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

단계 1.5.3.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $3 {(x - y - 1)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 1.5.3.3.3.1

$\frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ 에 $\frac{- 1}{- 1}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{- 1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

단계 1.5.3.3.3.2

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

단계 1.5.3.3.3.3

$\frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ 에 $\frac{- 1}{- 1}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}$

단계 1.5.3.3.3.4

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

단계 1.5.3.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

단계 1.5.3.3.5

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{- 1 + 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

단계 1.5.3.3.6

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (1) + 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

단계 1.5.3.3.7

$3 {(x - y - 1)}^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1 (1) - (- 3 {(x - y - 1)}^{2})}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

단계 1.5.3.3.8

$- 1 (1) - (- 3 {(x - y - 1)}^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1 (1 - 3 {(x - y - 1)}^{2})}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

단계 1.5.3.3.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

단계 1.7

$y = - 1$ 와 $x = 1$ 값을 구합니다.

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단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$- \frac{1 - 3 {((1) - y - 1)}^{2}}{3 {((1) - y - 1)}^{2}}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$- \frac{1 - 3 {((1) - (- 1) - 1)}^{2}}{3 {((1) - (- 1) - 1)}^{2}}$

단계 1.7.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.7.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1 - 3 {(1 + 1 - 1)}^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

단계 1.7.3.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1 - 3 {(2 - 1)}^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

단계 1.7.3.3

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{1 - 3 \cdot 1^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

단계 1.7.3.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{1 - 3 \cdot 1}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

단계 1.7.3.5

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1 - 3}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

단계 1.7.3.6

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- \frac{- 2}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

단계 1.7.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.7.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{- 2}{3 {(1 + 1 - 1)}^{2}}$

단계 1.7.4.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{- 2}{3 {(2 - 1)}^{2}}$

단계 1.7.4.3

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{- 2}{3 \cdot 1^{2}}$

단계 1.7.4.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{- 2}{3 \cdot 1}$

단계 1.7.5

식을 간단히 합니다.

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단계 1.7.5.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{- 2}{3}$

단계 1.7.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- - \frac{2}{3}$

단계 1.7.6

$- - \frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

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단계 1.7.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{2}{3})$

단계 1.7.6.2

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $\frac{2}{3}$ 과 주어진 점 $(1, - 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (- 1) = \frac{2}{3} \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 1 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$\frac{2}{3} \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y + 1 = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y + 1 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y + 1 = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 1$

단계 2.3.1.4

$\frac{2}{3}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

단계 2.3.1.5

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.5.1

$\frac{2}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

단계 2.3.1.5.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3}$

단계 2.3.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + 1 = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} - 1$

단계 2.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

단계 2.3.2.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

단계 2.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}$

단계 2.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 - 3}{3}$

단계 2.3.2.5.2

$- 2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

단계 2.3.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{5}{3}$

단계 2.3.3

항을 다시 정렬합니다.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$

단계 3