미적분 예제

$f (x) = (x^{3} + 2) (3 x^{2} - 4 x + 2)$ ; $(1, 3)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = 3$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{3} + 2$ , $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{3} + 2) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 4 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$(x^{3} + 2) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

단계 1.2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(x^{3} + 2) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

단계 1.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{3} + 2) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

단계 1.2.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(x^{3} + 2) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

단계 1.2.5

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

단계 1.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

단계 1.2.7

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

단계 1.2.8

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

단계 1.2.9

$6 x - 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

단계 1.2.10

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.2.11

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.2.12

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

단계 1.2.13

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.13.1

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

단계 1.2.13.2

$3 x^{2} - 4 x + 2$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

단계 1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{3} + 2) (6 x) + (x^{3} + 2) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} (6 x) + 2 (6 x) + (x^{3} + 2) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.5

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} (6 x) + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6

항을 묶습니다.

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단계 1.3.6.1

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.6.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.1.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.1.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$x^{4} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.2

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$6 \cdot x^{4} + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.3

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{4} + 12 x + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.4

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$6 x^{4} + 12 x - 4 \cdot x^{3} + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.5

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.6

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.7

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.7.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.7.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.8

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.9

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.9.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.9.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.9.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.9.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.9.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

단계 1.3.6.10

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

단계 1.3.6.11

$6 x^{4}$ 를 $9 x^{4}$ 에 더합니다.

$15 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

단계 1.3.6.12

$- 4 x^{3}$ 에서 $12 x^{3}$ 을 뺍니다.

$15 x^{4} + 12 x - 16 x^{3} - 8 + 6 x^{2}$

단계 1.3.7

항을 다시 정렬합니다.

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - 8$

단계 1.4

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$15 {(1)}^{4} - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$15 \cdot 1 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

단계 1.5.1.2

$15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$15 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

단계 1.5.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$15 - 16 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

단계 1.5.1.4

$- 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$15 - 16 + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

단계 1.5.1.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$15 - 16 + 6 \cdot 1 + 12 (1) - 8$

단계 1.5.1.6

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$15 - 16 + 6 + 12 (1) - 8$

단계 1.5.1.7

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$15 - 16 + 6 + 12 - 8$

단계 1.5.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 1.5.2.1

$15$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$- 1 + 6 + 12 - 8$

단계 1.5.2.2

$- 1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$5 + 12 - 8$

단계 1.5.2.3

$5$ 를 $12$ 에 더합니다.

$17 - 8$

단계 1.5.2.4

$17$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$9$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $9$ 과 주어진 점 $(1, 3)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (3) = 9 \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 3 = 9 \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$9 \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 3 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 3 = 9 \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 3 = 9 x + 9 \cdot - 1$

단계 2.3.1.4

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 3 = 9 x - 9$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$y = 9 x - 9 + 3$

단계 2.3.2.2

$- 9$ 를 $3$ 에 더합니다.

$y = 9 x - 6$

단계 3